湖南省师范大学附属中学届高三数学下学期模拟试题（三）文

湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）文科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，设集合，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求集合C，再根据集合与集合的关系判断即可【详解】由题设，则，故选.【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题2.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由纯虚数的定义可得m0，故，化简可得【详解】复数zm（m+1）+（m+1）i是纯虚数，故m（m+1）0且（m+1）0，解得m0，故zi，故i故选：B点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题3.设命题 (其中为常数)，则“”是“命题为真命题”（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】命题p：xR，x24x+2m0（其中m为常数），由168m0，解得m范围即可判断出结论【详解】若命题为真，则对任意，恒成立，所以，即.因为，则“”是“命题为真”的必要不充分条件，选.【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以 .故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D【解析】【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入【详解】由已知得，2017年的就医费用为元，年的就医费用为元，该教师2018年的家庭总收入元故选：D【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若，成等比数列，则（ ）A. B. 35C. D. 25【答案】C【解析】【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为，成等比数列，所以，因此,选C.【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.7.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断奇偶性,再利用单调性进行判断，【详解】由题是偶函数，其定义域是，且在上是增函数，选.【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；8.在长为的线段上任取一点，作一矩形，邻边长分別等于线段、的长，则该矩形面积小于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设ACx，则BC10x，由矩形的面积Sx（10x）16可求x的范围，利用几何概率的求解公式求解【详解】设线段的长为，则线段长为，那么矩形面积为，或，又，所以该矩形面积小于的概率为.故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题9.已知向量，满足，且，则当变化时，的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量数量积得即可求解【详解】由已知，则，因为，则，选.【点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题10.设点，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】据题意，且，解得.又，在中由余弦定理，得.从而，所以11.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（ ）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】A【解析】如图，在中，,则；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10n mile考点：解三角形12.已知与函数关于点(，0)对称，与函数关于直线对称，若对任意，存在使成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求f（x）和g(x)的解析式，设求其最大值-1，原题等价于存在使得，分离参数a,构造函数求其最值即可求解详解】依题意得：，设，所以在单调递增，所以，故原题等价于存在使得，故只需，而在上单调递减，而，所以，故选.【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法，考查不等式恒成立及有解问题，考查转化化归能力，是中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）.13.已知函数的图像在点处的切线过点，则_【答案】【解析】【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值【详解】，又因为，切点是，切线方程是：，.故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题14.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是_【答案】【解析】试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.15.若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为_【答案】【解析】【分析】根据函数f（x）的图象与性质求出T、和的值，写出f（x）的解析式，求出f（）的值【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，所以，所以，因为函数图象经过点，所以，所以，所以.故答案为.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题16.已知正四面体中，是棱的中点，是点在平面上的射影，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】设点在平面上的射影为，得、三点共线，且是的中点，得异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.在中求解即可【详解】设点在平面上的射影为，则、三点共线，且是的中点，则异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.设正四面体的棱长为2，则，所以中，.故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得详解：（1） 当时，当时， 由-得：是以为首项，公比为的等比数列（2）点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分10（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记表示总收人，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）人数304010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为（2）（3）220元【解析】【分析】（1）对收入的范围分类，求出对应的表达式即可。（2）列出7人中抽取2人共21种情况，找出不在同一收入人群的有12种结果，问题得解。（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为元，小红按调整起征点后应纳个税为元，问题得解。【详解】解：（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为.（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中中占3人，分别记为，中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，12，13，14，23，24，34，共21种情况，其中不在同一收入人群的有：，共12种，所以所求概率为.（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为元；按调整起征点后应纳个税为元，由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，所以小红的实际收入增加了220元.【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算，以及分段函数模型应用，考查转化能力及计算能力，属于基础题。19.在梯形中(图1)，过、分别作的垂线，垂足分别为、，且，将梯形沿、同侧折起，使得，且，得空间几何体 (图2).直线与平面所成角的正切值是.（1）求证：平面；（2）求多面体的体积.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）连接BE交AF于O，取AC的中点H，连接OH，可得OHCF，OH，再由已知DECF，DE，可得四边形OEDH为平行四边形，则DHOE由线面平行的判定可得EO面ACD，即BE面ACD；（2）证明平面，平面，利用求解即可【详解】（1）连接交于点，取的中点，连接，因为四边形为矩形，则是的中位线，所以且，由已知得且，所以且，所以四边形为平行四边形，又因为平面，平面，所以平面.即平面；（2）由已知，可得平面，又平面，所以平面平面，又，所以平面，设，因为直线与平面所成角的正切值是，所以，解得：，.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20.已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于两点，、，且 (，且为常数)，过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点，连接、.试判断的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）设，得，向量坐标化得；（2）联立方程组消去，由得，由的中点，得点， ，结合即可证明定值【详解】（1）设，则，即，即，所以动点的轨迹的方程.（2）联立方程组消去，得，依题意，且，由得，即，整理得：，所以，因为的中点，所以点，依题意，由方程中的判别式，得，所以，由知，所以，又为常数，故的面积为定值.【点睛】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，定值问题，考察方程思想和转化化归能力，是中档题21.已知函数，其中为实常数.（1）若当时，在区间上的最大值为，求的值；（2）对任意不同两点，设直线的斜率为，若恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）讨论与0，1，e的大小关系确定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化为，不妨设，整理得，设，当时，得，分离，求其最值即可求解a的范围详解】（1），令，则.所以在上单调递增，在上单调递减.当，即时，在区间上单调递减，则，由已知，即，符合题意.当时，即时，在区间上单调递增，在上单调递减，则，由已知，即，不符合题意，舍去.当，即时，在区间上单调递增，则，由已知，即，不符合题意，舍去.综上分析，.（2）由题意，则原不等式化为，不妨设，则，即，即.设，则，由已知，当时，不等式恒成立，则在上是增函数.所以当时，即，即恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以.故的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性，不等式恒成立问题，构造函数与分离变量求最值，分类讨论思想，转化化归能力，是中档题22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为，（ 为参数）.直线与曲线分别交于、两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的直角坐标为，求的值.【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.(2) 【解析】【分析】(1)由极坐标与普通方程互化，参数方程与普通方程互化直接求解即可；（2）将直线的参数方程代入，由韦达定理结合t的几何意义即可求解【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，由直线的参数方程得直线的普通方程为.（2）将直线的参数方程代入，化简并整理，得.因为直线与曲线分别交于、两点，所以，解得，由一元二次方程根与系数的关系，得，又因为，所以.因为点的直角坐标为，且在直线上，所以，解得，此时满足，故.【点睛】本题考查极坐标与普通方程互化，参数方程与普通方程互化，直线参数方程，t的几何意义，准确计算是关键，是基础题23.选