3.2 函数模型应用举例

函数模型及其应用,例题：,假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一：每天回报40元；,方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；,方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,思考,比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量,哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。,分析,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(xN*),方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10 x(xN*),方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.42x-1(xN*),图112-1,从每天的回报量来看：第14天，方案一最多：每58天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；,有人认为投资14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？,画图,累积回报表,结论,投资16天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。,例题的启示,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,1.几种常见的函数模型,2.三种函数模型的性质比较,递增,递增,递增,快,慢,y,平行,其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6，8另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划,【规律小结】(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决,跟踪训练1.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm和60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？,【方法提炼】(1)很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值,跟踪训练,解：(1)当0t10时，f(t)t224t100(t12)2244是增函数，且f(10)240.当20t40时，f(t)7t380是减函数，且f(20)240.所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟(2)f(5)195，f(25)205，所以讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟时更集中,考点3指数函数模型2012年10月1日，某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)(1.012101.127)【解】(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，,x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式是y100(11.2%)x.(2)10年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万)所以10年后该城市人口总数约为112.7万,【题后感悟】(1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型(3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解,跟踪训练3.本例的条件不变，试计算：大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年),解函数应用问题的步骤(四步八字)：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化成数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；,(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：注意：关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域,规范解答,函数应用题(本题满分12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2000元,(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？,【方法提炼】(1)求解本题应按照解函数应用题的一般程序本题经过了三次建模：根据月销量图建立Q与P的函数关系；建立利润余额函数；建立脱贫不等式(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛(3)在构造分段函数时,分段不合理、不准确,是易出现的错误,课前热身,答案：A,3.从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2012年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2013年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于()A3万4万元B4万5万元C5万6万元D2万3万元,4.某航空公司规定，乘机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_解析：由图象可求得一次函数的解析