江苏省高考数学-真题分类汇编-数列

五、数列（一）填空题1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1 行共有正整数12（n1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第3个，即为2、（2009江苏卷14）设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -93、（2010江苏卷8）函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。4、（2011江苏卷13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_.【解析】由题意：，而的最小值分别为1，2，3；.本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.5、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 【解析】组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为.【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.6、（2013江苏卷14）14在正项等比数列中，则满足的最大正整数 的值为 。答案： 1412（二）解答题1、（2008江苏卷19）.（）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：当n =4时，求的数值；求的所有可能值；（）求证：对于一个给定的正整数n(n4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足要求。2、（2009江苏卷17）（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。w.w.w.zxxk.c.o.m 3、（2009江苏卷23）（本题满分10分）对于正整数2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数2，有.【解析】 必做题本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。 w.w.w.zxxk.c.o.m 4、（2010江苏卷19）（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：,，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而,因此的最大值为。5、（2011江苏卷20）设部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立 （1）设的值；（2）设的通项公式【解析】本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。解：（1）由题设知，当，即，所以的值为8。 （2）由题设知，当，两式相减得所以当成等差数列，且也成等差数列从而当时，（*）且，即成等差数列，从而，故由（*）式知当时，设当，从而由（*）式知,故从而，于是因此，对任意都成立，又由可知，解得因此，数列为等差数列，由所以数列的通项公式为6、（2012江苏卷20）（本小题满分16分） 已知各项均为正数的两个数列和满足：（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.7、（2013江苏卷19）19本小题满分16分。设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，其中为实数。（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：。20本小题满分16分。设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。19证明：是首项为，公差为的等差数列，是其前项和（1） 成等比数列 左边= 右边=左边=右边原式成立（2）是等差数列设公差为，带入得： 对恒成立由式得： 由式得：法二：证：（1）若，则，当成等比数列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差数列，则型观察()式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而0，故经检验，当时是等差数列8、 （2013江苏卷23）卷 附加题9、 23本小题满分10分。设数列，即当时，记，对于，定义集合（1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数。23本题主要考察集合数列的概念与运算计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及