直接证明与间接证明-反证法(上课)PPT精选文档

-反证法,直接证明与间接证明,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,思考？,将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?,分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的.,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法，,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。,定义,反证法的思维方法：正难则反,其过程包括：,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；,归缪矛盾（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。,说明：常用的正面叙述词语及其否定：,不等于,小于或等于（）,大于或等于（）,不是,不都是,至少有两个,一个也没有,某个,某些,至少有n1个,某两个,例1用反证法证明：如果ab0，那么,用反证法证题的一般步骤是什么？,（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。,（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。,假设结论反面成立,正确推理导出矛盾,否定假设肯定结论,练习：1“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为()A自然数a，b，c都是奇数B自然数a，b，c都是偶数C自然数a，b，c中至少有两个偶数D自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数答案D解析恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数,2命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A有两个内角是直角B有三个内角是直角C至少有两个内角是直角D没有一个内角是直角答案C解析“最多”与“至少”互为否定，“一个”对应“两个”,3已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题；（4）结论为“唯一”类命题；,正难则反!,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例2,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,连结AD、BD、BC、AC,因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形,所以,因为ABCD为圆内接四边形,所以,因此,所以，对角线AB、CD均为直径，,这与已知条件矛盾，即假设不成立,所以，弦AB、CD不被P平分。,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例2,由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有,所以，弦AB、CD不被P平分。,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,即过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，即假设不成立,证法二,OPAB，OPCD，,15,例3求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交证明不妨设直线a与平面相交，b与a平行，从而要证b也与平面相交假设b不与平面相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面内由ab，a平面，得a平面，与题设矛盾,16,(2)b平面.则平面内有直线b，使bb.而ab，故ab，因为a平面，所以a平面，这也与题设矛盾综上所述，b与平面只能相交点评直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确,1.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60.证明假设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60.相加得ABC180.这与三角形内角和定理矛盾，所以A、B、C都小于60的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一个内角不小于60.,练习：,证明：,用反证法证明a。,假设直线a与平面不平行，,则点A不在直线b上，否则ab=A与ab矛盾。,过点A在平面内作直线cb，由ab得ac。,而Aa，且Ac，即ac=A，这与ac相矛盾。,于是假设错误，故原命题正确。,则由于a不在平面内，有a与相交，设a=A。,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,