2.5.4三角形的内切圆_第1页
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文档简介

直线与圆的位置关系,2.5,2.5.4三角形的内切圆,想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？,如图，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近,这使得我们猜测：这个圆应当与三角形的三条边都相切.,如果存在，那么如何画出这样的圆？,与三角形的三条边都相切的圆存在吗？,如果圆与ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等.,我们已经知道，到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是A的与B的平分线的交点.,根据以上分析，我们可以按下面的方法画一个圆与三角形的三边都相切.,如下图，已知ABC.求作：与ABC的各边都相切的圆.,作A，B的平分线AD，BE，它们相交于点O；,过点O作AB的垂线，垂足为M；,以点O为圆心，OM为半径作圆.,圆O就是所求作的圆，如图所示.,作法：,由以上分析和作法可知，与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个.,如图所示，设点O是ABC的内心，由于AB，BC，CA都与O相切，因此圆心O到AB，BC，CA的距离都等于圆的半径.从而圆心O在ABC的每个内角的平分线上.,与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.,由此得出：,三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.,例6如图所示，O是ABC的内切圆，A=70，求BOC的度数.,举例,解,A=70，ABC+ACB=180-A=110.,O是ABC的内切圆，BO，CO分别是ABC与ACB的平分线，即1=ABC，2=ACB.,BOC=180-（1+2）=180-（ABC+ACB）=180-110=125.,1.任画一个三角形，求作它的内切圆.,答：画一个三角形，然后分别作其中任意两个角的角平分线，其相交于一点O，如图.,以O为圆心，以OD的长为半径作圆，则圆O就是所求作的圆.,过点O作一条边的垂线，垂足为D.,D,2.如图，ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，A=74，B=47，求圆心角EOF的度数.,解O是ABC的内切圆，OEBC，OFAC，即OEC=OFC=90.又A=74，B=47,C=59.在四边形OECF中，EOF=360-90-90-59=121.,已知等边三角形ABC的边长为a，求它的内切圆的半径.,解,连接OB、OC.,O,如图，O是等边三角形ABC的内切圆.,A,B,C,则OBC=B=30，OCB=C=30.,则ODBC，且OD为内切圆的半径.,设BC边与O的切点为D，连接OD.,D,OD=tan30,即内切圆的半径为.,例,如图，O内切于ABC，切点分别为D、E、F.
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