广东广州第六中学高一数学下学期期中

广东省广州市第六中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求集合A和集合B，然后取交集即可.【详解】,则,故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.设，若，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质对选项逐个进行判断即可.【详解】,A项，则b-a0,故B项正确；C项，则,故C项错误；D项，a|b|，即，故D项错误.故选：B【点睛】本题考查不等式性质的应用，属于基础题.3.如图，设两点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点，测出的距离为，后，可以计算出两点的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用正弦定理求解。详解：，由正弦定理可知解得。点睛：三角形中两个角、一边利用正弦定理求解。4.如图，在正方体中，为的中点，则在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P，A，C在各个面上的投影，再把它们连接起来，即得到在各个面上的投影【详解】从上下方向上看，PAC的投影为图所示的情况；从左右方向上看，PAC的投影为图所示的情况；从前后方向上看，PAC的投影为图所示的情况；故选：A【点睛】本题考查平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图的关键点，如顶点等，再依次连接即可得在平面上的投影图5.下列各函数中，最小值为2的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式的性质判断选项即可【详解】对于A,，当且仅当x1取等号，故最小值为2，对于B，当时，sinx0,所以2，当且仅当sinx=1，即x时取等号，而，等号不能取到，故取不到2；对于C，y=2，当且仅当x2+21取等号，此时x无解，等号不能取到，故取不到2；对于D,当x0时，当x=1时取到2，当x0时，当x=-1时取到-2，故不成立；故选：A【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，考查计算能力6.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为,假若点有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是（ ）A. 6B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】将圆锥侧面展开，根据平面上两点之间线段最短，可求得答案.【详解】圆锥的底面半径为,故底面周长为4cm, 圆锥的主视图是等边三角形,可知圆锥的母线长为4，设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得，故,蚂蚁沿表面爬行到处的最短路程为,故选：B【点睛】本题考查圆锥侧面展开图中最短路径问题，把曲面问题转为平面问题解决，考查弧长公式的应用，是基础题7.九章算术“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共为升，下面3节的容积共升，则第4节的容积为（ ）升A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设竹子自上而下各节容积分别为：a1，a2，a9，根据上面3节的容积，下面3节的容积列出关于首项和公差的方程，求出首项和公差，从而可求出第4节的容积详解】设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，a9，且为等差数列，根据题意得：，即3a1+3d，3+21d，得：18d3，解得d，将d代入得，则+3d=+（41）故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，考查计算能力，属于基础题8.已知的内角的对边分别为，,若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得，由正弦定理结合两角和差公式可得答案.【详解】若，则,由正弦定理得,在中，则cosA=,故选：D【点睛】本题考查正弦定理和两向量平行条件的应用，属于基础题.9.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等差数列和等比数列的性质可得a5和b5，再利用性质将所求化为，即可得到答案.【详解】数列是等比数列,由等比数列性质得，即a52，数列是等差数列，由等差数列性质得，b52，sin（）sin故选：C【点睛】本题考查等比数列及等差数列的性质，考查特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于中档题10.设数列满足,记数列的前项之积为，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过计算前几项可知数列an是以4为周期的数列，可得a1a2a3a4a5a6a7a8a2013a2014a2015a20161，从而可得答案【详解】，a2，a3，a43，a52，即an+4an，数列an是以4为周期的数列，又a1a2a3a4a5a6a7a8a2013a2014a2015a20161，Tn为数列an的前n项之积，T2018（a1a2a3a4）（a5a6a7a8）（a2013a2014a2015a2016）a2017a2018a1a2，故选：D【点睛】数列是一种特殊的函数，所以数列具有函数的一切性质，在数列中涉及下标较大时，常常要用到数列的周期性求解在判断数列的周期性时，一般是先根据条件写出数列前面的若干项，观察可得数列的周期11.数列的前25项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知数的结构可写出数列的前25项，然后求和即可.【详解】由于，所以数列的前25项的和为：故选：B【点睛】本题考查数列求和的方法，考查分析推理和计算能力，属于中档题.12.已知定义域为的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前n项和为，若对任意的正整数n均成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x0，2）时f（x）的最大值，由递推式可得an是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围【详解】当x0，2）时，所以函数f(x)在0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可得当0x1时，f（x）的最大值为f（）；1x0，且0B，sinB=.由正弦定理得，.(2) SABC=acsinB=4， c=5.由余弦定理得b2=a2+c22accosB，.考点：本题主要考查三角函数同角公式，正弦定理、余弦定理的应用。点评：中档题，本题综合考查三角函数同角公式，正弦定理、余弦定理的应用。应用同角公式的“平方关系”解题时，要注意角的范围，以正确确定函数值的正负。本题解答思路明确，难度不大。18.已知等比数列满足且公比.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质可得，从而求得，得到公比q,即可确定通项公式；（2）利用错位相减法可求前n项和.【详解】（1）由等比数列的性质可得且, ,（2）由（1）知 ,-得,.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法和错位相减求和法，考查计算能力，属于中档题.19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元。【解析】解：（）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.再由，得，因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（），令，即.解得，（舍去）.当时，当时，故是的最小值点，对应的最小值为。当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元。20.已知函数（其中）的图象如图所示：（1）求函数的解析式及其对称轴的方程；（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围，并求此时的值.【答案】（1），；（2），.【解析】分析】（1）根据图像得A=2,利用，求值，再利用时取到最大值可求，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由得，方程f（x）2a3有两个不等实根转为f（x）的图象与直线y2a3有两个不同的交点，从而可求得a的取值范围，利用图像的性质可得的值.【详解】（1）由图知，,解得=2，f(x)=2sin(2x+),当时，函数取得最大值，可得，即，解得 ，又所以，故，令则，所以的对称轴方程为；（2），所以方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点，可得,当时，有，故.【点睛】本题考查由yAsin（x+）的部分图象确定函数解析式，考查函数yAsin（x+）的图象及性质的综合应用，属于中档题21.设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列满足：，数列的前项和为，求使不等式成立的最小正整数.【答案】（1）证明见解析；（2）2016.【解析】【分析】（1）已知，可得，两式作差整理得 ，即可得到证明，从而得到通项公式；（2）由（1）可求得数列的通项公式，利用分组求和可求得，解不等式即可得到n值.【详解】（1）当时，得，则,，当时,作差得,即整理得,即数列等比数列，首项，公比为2，.（2）, ,，不等式即为，解得,所以，使得成立的最小整数n的值为2016.【点睛】本题考查利用定义法证明数列为等比数列，考查分组求和和裂项相消求和法的应用，考查等比数列前n项和公式的应用，考查分析推理及计算能力，属于中档题.22.已知幂函数满足（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）【解析】试题分析：（1）根据幂函数是幂函数，可得，求解的值，即可得到函数的解析式；（2）由函数，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最小值，即可求解实数的取值范围；（3）由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，转化为方程有解问题，即可求解的取值范围试题解析：（）为幂函数，或当时，在上单调递减，故不符合题意当时，在上单调递