2011--河北省大学生数学竞赛(非数学类)

2011年河北省大学生数学竞赛（非数学类）年河北省大学生数学竞赛（非数学类） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 考试时间 9 月 24 日上午 9：0011:30 一、 （本题满分 10 分）设)(xf在0=x的某邻域内有连续的导函数, 且 , 2) )(sin (lim 2 0 =+ x xf x x x 求)0(f与)0( f. 解: 由, 2) )(sin (lim 2 0 =+ x xf x x x 得到 . 0 ),1 (2 )(sin 2 +=+x x xf x x o 因此 0 xx),( sin 2)(+=o x x xxf. 由于)(xf在0=x的某邻域内有连续 的导 函数, 故)(xf在0=x连续, 所以 . 1 )(lim)0( 0 = xff x （5 分） 由导数的定义, . 2 1)( sin 2 lim )0()( lim)0( 00 = + = = x x x x x x fxf f xx o （10 分） 10 分 二、 （本题满分 10 分） 计算级数LL+ + + ) 1( ) 1( 45342312 5432 nn xxxxx n n 之 和, 1|x . 解: 该级数的收敛半径为 1. 由1| , 1 1 ) 1( 0 + = = x x x n nn ,（3 分） 两边从 0 到 x 积分得 1|),1ln( 1 ) 1( 0 1 += + = + xx n x n n n ， （6 分） 再两边从 0 到 x 积分得 . 1 | )1ln()1ln()1ln( )2)(1( ) 1( 0 0 2 +=+= + = + xxxxxdtt nn x x n n n （10 分） 三、 （本题满分 10 分）计算积分 + = D dxdy xyy x I, 3 32 其中D为平面曲线 xyxyxyxy3, 3, 1 22 =所围成的有界闭区域. 解: 作变换, 2 x y vxyu= 则积分区域变为31 , 31: ),(=vuvuD， 这时,3 ),( ),( 1 v yx vu J= = （5 分） 这样就得 . 2 ln 3 2 )1 ( 3 232 = + = + = DD uv dudv dxd xyy x I（10 分） 四、 （本题满分 10 分）确定函数)(tu使得 . 1 )0(,)()( )( 1 0 =+= udssutu dt tdu 解: 令dssub)( 1 0 =, 则b 为一特定常数, 问题变为求解方程 ,)()( btutu+= 其通解为 t Cebtu+=)(. （5 分） 由初值条件得, 1)0(=+=Cbu而 , ) 1()( 1 0 +=+=eCbdtCebb t 解得 e C e e b = = 3 2 , 3 1 , 于是 e ee tu t + = 3 12 )(. （10 分） 五、 （本题满分 10 分）设.,2 , 1),1 (, 10 11 = + nxxxx nnn 证明: . 1 lim= n n nx 证明: 由于, 1)1 ( 1112 =xxxx 若, 1 n x 则 . 1 )1 ( 1 = +nnnn xxxx 即 数列 n x 严格单调递减且有下界, 故有极限, 设为, 10 , aa 故由 )1 ( 1nnn xxx= + , 得 2 aaa=, 即 . 0 =a（5 分） 由 Stolz 法则, . 1 )1 (lim 1 )1 ( 1 1 lim 11 1 lim 1 limlim 1 = = = + n n nnn n nn n n n n n x xxxxxx n nx （10 分） 六、 （本题满分 10 分）设)(xf有连续的二阶函数, 0)0( =f且, 1 | )( lim 0 = x xf x 证 明)(xf在0=x处取得极小值. 证明: 由泰勒公式得), 0(, 2 )( )0()( 2 xx f fxf+= ,（3 分） 由, 1 | )( lim 0 = x xf x 可知)( xf在0=x的某邻域内恒正, （6 分） 因此)(xf在0=x处取得极小值. （10 分） 七 、（ 本 题 满 分10分 ） 已 知11, )1ln( )( 0 =xdt t t x x , 证 明 : . 1 1),( 2 1 )()( 2 =+xxxx 证: 1) 1( 1 1 lim )1ln( lim )1ln(1 lim)0( 00 0 0 = = = = xx x dt t t x xx x x , . 0 , )1ln( )( =x x x x （4 分） 令),( 2 1 )()()( 2 xxxxf+= 则有 , 0)( )( )( )( 2 =xxxxxf 因此,)(cxf 注意到0)0(=, 知 , 0 )0(=f所以 , 0 =c 故 . 0 )(xf（10 分） 八、 （本题满分 10 分） 设, 2 , 1,tan 4 0 L=nxdxa n n (1) 计算级数)( 1 2 1 + = + nn n aa n 的和; (2) 证明级数 n n na = 1 ) 1(条件收敛; 解: (1) 由 , 1 1 tantan) 1 cos 1 (tantan 4 0 2 4 0 4 0 2 2nn nnn n a n axxddx x xxdxa + = + + 得 1 1 2 + =+ + n aa nn , 于是 . 1 1 11 ) 1( 1 )( 1 11 2 1 = + = + =+ = = + = nnnn aa n nn nn n （5 分） (2) 证明: 因为, 1 1 0 2 + =+ + n aaa nnn 则 . 0 lim= n n a 显然 n a单调递减. 故级数 n n na = 1 ) 1(收敛. 又因, ) 1(2 1 2/ )( 1 + =+ + n aaa nnn 得 n n a =1 发散, 故级数 n n na = 1 ) 1(条件收敛. （10 分） 九 、（ 本 题 满 分10分 ） 设)(xf在 1 , 0上 可 微 , 且 当) 1 , 0(x时 . 0 )0(, 1)( 0= 证明: 由已知 . 0 )0(, 1)( 0=xfxfxfxfxfxF （6 分） 因此当) 1 , 0(x时)(xF递增, 且0)(xF, 又由于)(xF在1=x处连续, 故 . 0) 1 (F （10 分） 十 、（ 本 题 满 分10分 ） 设)(xf在 1 , 0上 有 三 阶 连 续 导 数 , . 0 )( , 2) 1 (, 1)0( 2 1 =fff 证明至少存在一点),1 , 0( 使得.24| )( |f 证明: 由泰勒公式, 存在),1 ,(), 0( 2 1 2 1 使得 3 2 1 6 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )0)( )0)( )0)( )(