2012年日本留学数学二考试

数学 2（上級） 問1a，b定数，a 0。2次関数 y D 4x2C 2ax C b x軸方向a，y軸方向1 ? 7a平行移動。平行移動点.0; 4/通 b DABa2CCa CD ，表2次関数 y DEx2?Fax CG? 。 2次関数 x軸接，a D H I ，接点x座標 x DJ。 1 問2多項式 P D x2C 2.a ? 1/x ? 8a ? 8 考。 (1) a有理数*1。x D 1 ? p2 対，P値有理数a DK ，P値P DLM。 (2) x，a正整数。P値素数x，a。 P因数分解*2 P D ? x ?N ? x COa CP ? 得。，x DQ。 ，P値素数a中最小a DR，P 値P DST。 *1有理数：rational number *2因数分解：factorize 2 初項第項和 n X kD1 akD n2C 3n 数列an.n D 1;2;3;?/考。 (1) anDAn CB。 (2) bnD n2? 5n ? 6数列fbng.n D 1;2;3;?/対，bn 0項全部C個， 項和?DE。 (3) (1)，(2)an，bn対 n X kD1 k2bk ak D 1 F n ? n CG ? n2?Hn ?I ? 。 3 a，b，c正実数。座標平面上3点A.a; 0/，B.3; 6/，C.0; c /頂点三角形ABC考 。三角形ABC外接円原点O.0; 0/通，BAC D 60。 (1) AOB DAB ，b D q C。 (2)外接円*3表方程式 x ? a D !2 C y ? c E !2 ? a2C c2 F ，ca用c D q G ? H? a ? 表. (3)線分OB線分AC交点D，OAC D ;ADB D 。 a D 2p3 tan DI? q J;tan DK 。 *3外接円：circumscribed circle 4 問1a正実数，関数 f.x/ D x2? 5 C 4alog.2x C a C 8/ ? ? a 2 ? 4 x 0関数f.x/定義域*4? a 2 ?4 a ?2考慮，f.x/極大値， 極小値両方 F a GG a 。，f.x/極大値極小値和 a2 H CICJalogKa 。 *4定義域：domain 5 問2正整数n実数a対，関数 fn.a/ D Z ? 0 .cosx C asin2nx/2dx 考。 (1)関数fn.a/ fn.a/ D Z ? 0 ( 1 C cosLx2 2 C a2 1 ? cosMnx 2 C a ? sin.2n C 1/x C sin.2n ? 1/x ?) dx 変形，右辺定積分計算 fn.a/ D ? N a2C On Pn2?Q a C ? R 得。 (2) fn.a/最小a値an，SND N X nD1 an n 。 SND ? S ? N X nD1 1 2n ?T ? 1 2n CU ! D ? S ? V? 1 WN CX ! 。 1 X nD1 an n D lim N!1 SND ? Y ? 得。 6 解答 I 問1問2 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST ?2734644310?74225211 II ABCDEFGHI 225508174 III ABCDEFGHIJK 30322434231 IV 問1問2 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW