高二数学不等式教案人教

高二数学不等式教案一、知识框架二、重点难点重点：实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系，不等式的8条性质；用作差法解答不等式问题；5个基本不等式；不等式的证明方法；各种不等式的解法，不等式的同解变形；难点: 对不等式8条性质的正确运用；领悟作商法适合的题型；正确运用不等式的性质和5个基本不等式证明简单的不等式；证明方法所适用的题型；解各种不等式；分类讨论“标准”的确定；用分类讨论思想解不等式；三、知识点解析1、不等式的性质（1）的大小顺序（实数的顺序性）与实数的运算性质之间的关系： 1）设，则； 2）设，则；（2）不等式的概念： 1）不等式的定义：用不等号（）表示不等关系的式子叫做不等式，分为严格不等式和非严格不等式； 2）同向、异向不等式：与叫做同向不等式，与叫做异向不等式； 3）不等式的解集：使成立的的集合，叫做的解集； 4）同解不等式：若与（或）的解集相等，则与（或）叫做同解不等式； 5）不等式的同解变形：一个不等式变形为与它同解的不等式，这样的变形成为不等式的同解变形； 6）证明不等式； 7）解不等式；（3）不等式的基本性质：（对称性）；（传递性）；（可加性）；（可乘性）；2、不等式的证明 1）算术平均数与集合平均数：几个基本不等式（见下表）； 2）不等式的证明：下表是不等式证明的理论体系：3、不等式的解法（1）不等式解法的理论体系见下表：（2）有理不等式：1）一元不等式：2）分式不等式：不等式与不等式组或同解；不等式与不等式组或同解。 （3）无理不等式：与或同解；与同解；与同解；（4）指数不等式：时，与同解；时，与同解；（5）对数不等式：时，与同解；时，与同解；（6）含绝对值得不等式：，；4、不等式的应用四、例题 1、不等式的性质 例1 比较与的大小。分析 作差比较。解 ，。例2 已知，比较与的大小。分析 作差比较。解 ，由，得，从而。思考 当去掉条件时，则大小关系如何？ 例3 设，且，比较与的大小。分析 作差比较。解 ，当时，则，；当时，则，。总结 比较两个实数(代数式)大小的思维过程是：作差变形判断符号结论。例4 判断下列各命题的真假，说明理由：(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)如果，那么。分析 判断一个命题的真假的方法是：如果判定是真命题，则必须给出它的证明；如果判定是假命题，只要举出一个反例即可。解 根据不等式的性质可判定如下：真命题是(1)、(3)假命题是(2)。例5 回答下列问题：(1)如果，能否断定与谁大谁小？举例说明；(2)如果，能否断定与谁大谁小？举例说明分析 解答本题的方法是：如果作肯定回答，则必须给出它的证明；如果作否定回答，则必须举出反例。解 (1)不能断定；(2)不能断定举例略注意 本例举例要举出3个例子，使得两代数式的值能体现出大于、小于、相等三种情况 例7 已知，求证。解 由知，则知，。 2、不等式的证明例1 已知是正数，且，求证。证明 ，。说明 本题条件下可证明。例2 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解 设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，则： 可得：S, m, n都是正数，且m n， t1 - t2 0 即：t1 b 0时，； 当b a 0时， 。 。同理可证。例4 求证证明 因为都是正数，所以为了证明，只需证明，展开得 ，即 。因为成立，所以 成立，即证明了。例5 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.分析 当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为.所以本题只需证明。说明 对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。例6 已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求证：证一 即：；证二 由x 0 , y 0，2x + y = 1，可设， 则。例7 若，求证：证 设， 则小结 若0x1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()。若，则可令x = cosq , y = sinq ()。若，则可令x = secq, y = tanq ()。若x1，则可令x = secq ()。若xR，则可令x = tanq ()。例8 证明：在是增函数。证 设2x1 0, x1 + x2 - 4 0 。又y1 0， y1 y2 在是增函数。例9 设a, b, c R，1 求证：，2 求证：证 1 2 同理：， 三式相加：例10 a , b, cR, 求证：1 ，2 ，3 。证 1 法一：, , 两式相乘即得。法二：左边 3 + 2 + 2 + 2 = 9。2 ， ，两式相乘即得。3 由上题：， ，即：3、不等式的解法例1 解关于x的不等式解 将原不等式展开，整理得：讨论 当时，；当时，若0时；若0时；当时，。例2 解关于x的不等式解 原不等式可以化为：。若即则或；若即则，；若即则或。例3 关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集。解 由题设且， ，从而 可以变形为，即： 。例4 关于x的不等式 对于恒成立，求a的取值范围解：当时不合，也不合，必有： 。 例5 若函数的定义域为R，求实数k的取值范围。解 显然k=0时满足 而k0时不满足，k的取值范围是0,1。例6 解不等式略解一（分析法），或，。解二 （列表法）原不等式可化为列表注意 按根的由小到大排列解三 （标根法）作数轴；标根；画曲线，定解-101234-2小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”例7 解不等式 解 原不等式化为 , 原不等式的解为。例8 解不等式 解 恒成立，原不等式等价于 即。例9 解不等式 解 原不等式等价于且 ，原不等式的解为。例10 解不等式解 原不等式等价于即：，。例11 解不等式解 原不等式等价于，原不等式的解为：。例12 k为何值时，下式恒成立：解 原不等式可化为：，而，原不等式等价于，由得1kx。因为两边非负，再次平方：，解之0x3。综合 得：原不等式的解集为0x2或，不等式的解集为。例21 解不等式解 原不等式等价于 或，解之得：，原不等式的解集为。4、不等式的应用例1 证明下列各题： 证 ，于是。若上题改成，结果将如何？解 ，于是，从而。若 则解：若则显然有；若异号或一个为0则；。例2若，则为何值时有最小值，最小值为几？解 ，=，当且仅当即时。例3 求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解 ，当且仅当即时。例4 若，求的最值解：，。从而 ，即。例5 设且，求的最大值解 又，即。例6 已知且，求的最小值