2013考研最全高等数学

Danielle高等数学 1 / 12 第一章第一章 函数极限与连续函数极限与连续 一、映射与函数回顾 1.映射 2.函数有界性 设? = ?(?)在区间X上有定义，如果? 0， ? X，恒有|?(?)| M，则称?(?)在 区间X上有界。 否则， 则称?(?)在X 上无界。【注】 有界无界是相对于某个区间而言的。 六个常见的有界函数：|sin?| 1，|cos?| 1，(,+)； |arcsin?| ? ? ，|arccos?| ，1,1；|arctan?| ? ? ，|arccot ?| 0?或? 0?或?(?) 0?或? 0 ?或?(?) 0?或?(?) 0?. 扩充结论 3：lim ?(?) = ?，lim g(?) = ?，? ?，则存在某时刻，此时此刻之后， ?(?) 0 0， ? = 0 1，? 0，N,当? ?时，恒有|? a| |?| 2 . ?:X Y 映射 D?= X R? Y ?a.R? = Y 叫满射 b.? ? ?(?) ?(?) 叫单射 同时成立叫双射 ? Danielle高等数学 2 / 12 (4)数列极限存在，则任一子列极限都存在并相等. 如果有两个子列极限存在且不相等，可以说明原数列极限不存在. 一般来说，如果有两个子列极限存在且相等，不能说明原数列极限存在； 如果偶数项子列和奇数项子列极限都存在且相等，则原数列极限存在且相等. 数列出现(1)?考虑子数列：奇数项 根式有理化;倒代换? = 1 ? . 1. 0 0 或 型极限，分子分母分别求导(罗比达)。求导复杂时令? = 1 ? 做变量替换.? N?. ? 0 时极限式中含sin?,cos?不能用罗比达法则；? 时sin 1 ? ,cos 1 ? . (1) 定义 设? = ?(?)在点?某邻域内有定义，?为邻域内异于?的任一点，且恒有， ?(?) ?(?)或?(?) ?(?)，则称?(?)为?(?)的极大值或极小值，?为极值点. ? (? ?) = 0，则? ? (? ?) 0，?(?)为极小值. 【注】? (? ?) = 0，二阶导失效 ? Danielle高等数学 7 / 12 2.凸凹性与拐点 (2)拐点 函数?(?)的图形凸凹分界点称为图形的 拐点. (3)凸凹性的判别：若在 I 上?(?) 0?或?(?) 0?，则称?(?)在 I 上是凸的?或凹的?. 对于凸弧，?(?) ?(?)+ ? (? ?)(? ?)曲线切线上方，割线下方. (4)拐点的判别： 二阶导判别法：若在?处?(?) = 0?或?(?)不存在?，当?变动经过?时?(?)变号 三阶导判别法：设?(?)在?某领域内有三阶导数，且? (? ?) = 0，? (? ?) 0， 四、渐近线 4.在同一侧，水平渐近线和斜渐近线不能同时存在. 五、函数不等式的证明 (1)用?表达的不等式：F(?) 0,?，?；观察 F(?),F(?) 2.利用凸凹性,极值和最值证明不等式：与上述相似，比较 极值与最值. 3.利用中值定理证明不等式 区间内“至少”存在一点 ?或?使命题成立. 4.利用泰勒展开式证明不等式： “展中间，代两端” 一阶展开式：?(?) = ?(?) + ? (? ?)(? ? )+ ?(?) 2! (? ?)? ? 介于?与?之间? 适用于:题设函数?(?)具有二阶和二阶以上可导， 且最高阶导数大小或上下界可知的命题. (1)定义 设? = ?(?)在区间 I 上有定义，若?，? I，恒有? + ? 2 ? ?(?)+ ?(?) 2 或者? + ? 2 ? 0,?(?) ?(?)；令?(?) = F?，?. ?(?) = F?，? = 0? ii.若?,?可以分离，且具有对称性 ?(?) ?(?)；令?(?) = ?(?). 适用于:经过简单变形，不等式的一端可写成 ?(?) ?(?) ? ? 、 ?(?) ?(?) g(?) g(?) ，或欲证题是 证题程序 在?，?上，由题意作两函数?(?)，g(?)； 写出微分中值公式 ?(?) ?(?) ? ? = ?(?)或 ?(?) ?(?) g(?) g(?) = ?(?) g?(?) ； 根据需要对?(?)，g?(?)进行放缩，放缩的依据一般是?的变化范围. ? 证题程序 写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； 恰当选择某点做泰勒展开?展中间?； 恰当选择某些点代入泰勒展开式?代两端?，或由最高阶导数大小或上下界 对泰勒式进行放缩或简单运算. ? Danielle高等数学 8 / 12 第四章第四章 不定积分不定积分 一、不定积分的概念、性质与积分公式 1.原函数与不定积分 2.积分基本公式 二、不定积分的基本方法 1.第一类换元法?凑微分法?：设?(?)? = ?(?) + C，则 ?(?)?(?)? = ?(?)?(?)? 令?(?) ? ?(?)? = ?(?) + C =? 令?(?) = ? ?(?) + C 定义:函数?(?)在区间 I 中的原函数的全体，称为?(?)在区间 I 中的不定积分，记为 ?(?)? .若 ?(?)为?(?)在区间 I 中的一个原函数，则?(?)? = ?(?) + C . 性质:1 ?(?)? = ?(?)? ? 0 为常数? 4 ?(?)? = ?(?) + C 或者?(?) = ?(?) + C 3 ?(?)? ? = ?(?) 或者 ?(?)? = ?(?)? 2 ?(?) ?(?) ?(?)? = ?(?)? ?(?)? ?(?)? (1)? = ? ? + 1 + C ( 1) (2)? 1 ? ? = ln|?| + C 特别熟记：? 1 ? ? = 1 ? + C ? 1 ? ? = 2? + C (3)? = ? ln? + C ? 0，? 1? ? = ?+ C (4)?cos? = sin? + C (5)?sec? = tan? + C (6)?sec?tan? = sec? + C (7)?sec? = ln|sec? + tan?| + C (8)?tan? = ln|cos?| + C (9)? ? ?+ ? = 1 ? arctan ? ? + C (10)? ? ? ? = arcsin ? ? + C (11)? ? ? ? = 1 2? ln? + ? ? ?+ C (12)? ? ? ? ? = ln? + ? ? + C ?sin? = cos? + C ?csc? = cot? + C ?csc?cot? = csc? + C ?csc? = ln|csc? cot?| + C ?cot? = ln|sin?| + C ? ? 1 + ? = arctan? + C ? ? 1 ? = arcsin? + C ? ? 1 ? = 1 2 ln?1 + ? 1 ? + C Danielle高等数学 9 / 12 【注】二次根式用配方；三角函数奇次用sin? + cos? = 1，偶次用tan? + 1 = sec? 2.第二类换元法 (1)利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分 被积函数?(?)含根式 ? ? ? ? ?+ ? ? ? ? 常作代换 ? = ?sin? ? = ?tan? ? = ?sec? (1)幂指型、幂三型：?P?(?)?， ?P?(?)sin?， ?P?(?)cos? 选取?(?) = ?、?、?置置?之后之后， ?(?) = P?(?). (2)幂对型、幂反型：?P?(?)ln?，?P?(?)arcsin?，?P?(?)arctan? 选取?(?) = ?(?)置置?之后之后， ?(?) = ln?、arcsin?、arctan? 当ln?、arcsin?、arccos?、arctan?为高次时，作变量代换，转换为幂指、三型. (3)指三型：?sin(? + ?)?，?cos(? + ?)? ?(?),?(?)的选取可随意，顺序一致地用两次分部积分法，形成循环，移项可得结果. 三、特殊函数的积分方法 1.有理函数的积分. 基本步骤：假分式 多项式+ 真分式 将真分式分母分解为一次因式、二次因式之积 利用待定系数法将真分式分解为部分分式之和 对每一部分积分. 有理积分基本类型. 常见的几种凑微分的形式：?(? + ?)? = 1 ? ?(? + ?)?(? + ?) ?(?+ ?)? = 1 ? ?(?+ ?)?(?+ ?) ?(? )? ? ? = ?(?)? ?(? )? ? = 1 ln? ?(?)? ?(? )? ? ? = ? ?(?) ? ? = ?(?)? ?(ln?) ? ? = ?(ln?)d(ln?) ?1 ? ? ? = ?1 ? 1 ? ? ? ? = 2? ? ?(sin?)cos? = ?(sin?)?(sin?) ?(cos?)sin? = ?(cos?)?(cos?) ?(tan?)sec? = ?(tan?)?(tan?) ?(cot?)csc? = ?(cot?)?(cot?) ? ?(arcsin?) 1 ? ? = ?(arcsin?)?(arcsin?) ? ?(arctan?) 1 + ? ? = ?(arctan?)?(arctan?) (3)指数代换：用于被积函数?(?)由?所构成的函数. 令?= ?，? = 1 ln? ? ? (2)倒代换：即令? = 1 ? .处理分母次数高于 2 次以上的情况. 3.分部积分法：? = ? ? ?P?(?)arccot?转化为?P?(?)arcsin?，?P?(?)arctan? 利用arcsin? + arccos? = 2 ，arctan? + arccot? = 2 可把?P?(?)arccos?， Danielle高等数学 10 / 12 (1)?P?(?)? = Q?(?) + C 多项式积分仍未多项式. (2)? ? ? ? ? = ?ln|? ?| + C (3)? ? (? ?)? ? = ? ? 1 1 (? ?)? + C (4)? ? + ? ?+ ? + ? ? = ? ? + ? ? + ? 2? ? + 4? ? 4 ? 利用? ? ?+ ? = 1 ? arctan ? ? + C (5)I?= ? ? + ? (? ?+ ? + ?)? = ? 2(? 1) 1 (? ?+ ? + ?)? + I? 【注】除基本方法外，应结合凑微分法、变量代换法根据题目特点，灵活选择解法. 2.无理函数积分?根式代换?：变量代换，分子?分母?有理化等. (1)基本思路：尽量使分母简单；尽量使?sin?，cos?幂次降低. (2)“1”的妙用：1= sin? + cos? (3)分母的化简 分母可化为单项式的类型： i. ? ?sin?，cos? (1 cos?)? ? = ? ?sin?，cos?(1 cos?)? (sin? ?) ? ? ? ?sin?，cos? (1 sin?)? ? = ? ?sin?，cos?(1 sin?)? (cos? ?) ? ? ii.更常用：1+ cos? = 2cos? ? 2 ， 1 cos? = 2sin? ? 2 ? ?sin?，cos? (1 + cos?)? ? = ? ?sin?，cos? ?2cos? ? 2? ? ? ? ?sin?，cos? (1 cos?)? ? = ? ?sin?，cos? ?2sin? ? 2? ? ? iii.? ?sin?，cos? (cos? sin?)? ? = ? ?sin?，cos?(cos? sin?)? (cos2?)? ? (4)降幂法 i.积化和差公式 sin?cos? = 1 2 sin(? + ?)? + sin(? ?)? sin?sin? = 1 2 cos(? ?)? cos(? + ?)? cos?cos? = 1 2 cos(? ?)? + cos(? + ?)? ii.倍角公式 sin? = 1 2 (1 cos2?) ，cos? = 1 2 (1 + cos2?) ，sin?cos? = 1 2 sin2? 四、含有抽象函数的积分 1.抽象函数的不定积分：常用换元法、分部积分法，亦可化抽象为具体 ?(?)? = ?(?) + C ，?(?)为?(?)的一个已知原函数； ?(?) = ?(?)? 2.分段函数的不定积分：连续函数必有原函数，且原函数连续. 分别求出各段不定积分表达式；由原函数连续性确定各积分常数关系. 3.三角有理式积分? ?sin?，cos? Danielle高等数学 11 / 12 第五章第五章 定积分定积分 一、概念与性质考察 (2)牛顿莱布尼茨公式：设?(?)在?，?上连续， ?(?)是?(?)的一个原函数，则 3.定积分的性质 推论：若?(?) 0，则? ?(?)? ? ? 0；? ?(?)? ? ? ? ? |?(?)|? ? ? (5 ?)连续函数定积分比较定理：对于连续函数?(?)、g(?)，若?(?) g(?)，? ?，? 1.利用定积分的定义求某些特殊和式的极限：? ?(?)? ? ? = lim ? ?(?)? ? ? 取 ?= 1 ? (? ?)，?= ? + ? 1 ? (? ?) ?，? = ?0，1?则 ?= 1 ? . 若每一项可提一个 1 ? ，提出 1 ? 后剩下的 可表示为一个通式，则用定积分定义求解. (1)一般情形：? ?(?)? ? ? = lim ? ? ? + ? ? (? ?)? ? ? ? ? ? (2)特殊：?，? = ?0，1?；?等分 ?= 1 ? ?，? = ? 1 ? ， ? ? = ? ? lim ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ?(?)? ? ? (3)一般求： lim ? ? ? + ? ? (? ?)? ? ? ? ? ? = (? ?) lim ? ? + ? ? (? ?)? 1 ? ? ? = (? ?)? ? + (? ?)? ? ? 2.原函数(1)概念：设?(?)在?，?上连续，则 ?(?) = ? ?(?)? ? ? 是?(?)的一个原函数. 若?(?)在?，?上仅可积，则 ?(?) = ? ?(?)? ? ? 连续.(但不一定可导，不一定为原函数). ? ?(?)? ? ? = ?(?)? ? ? = ?(?) ?(?) 原函数为奇?偶?函数 导函数为偶?奇?函数 导函数为奇函数 原函数为偶函数 导函数为偶函数? 原函数为奇函数 原函数 = 奇函