第三章复习数列综合复习人教

第三章复习 数列 综合复习1知识结构【知识总结】2知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列(2)等差、等比数列的定义(3)等差、等比数列的通项公式(4)等差中项、等比中项(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法【方法总结】1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法3求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减相加法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等【典例剖析】例1 设an为等比数列，bn为等差数列，且b10，cnanbn，若cn是1，1，2，求数列cn的前10项的和解：c1a1b1即1a10，a11又2得：q22q0又q0，q2，d1c1c2c3c10(a1a2a3a10)(b1b2b3b10)d210145(1)978点评：本题给出了解决等差(等比)数列问题的一般方法，就是要解决等差(等比)数列的首项和公差(公比)问题例2已知数列an满足an5Sn3，nN*，求a1a3a2n1解法一： 由an5Sn3知，当n2时，an15Sn13anan15an4anan1，即又当n1时，a15a13，a1由an为等比数列知：a2n1也成等比数列，其首项为，公比为a1a3a2n1解法二： 由an5Sn3知SnSn15Sn3(n2)即SnSn1Sn (Sn1)，又a15S13，a1由Sn成等比数列，Sn(S1)()n1即Sn()n1当n2时，anSnSn1()n1 ()n23()nan3()n，nN*a2n1构成等比数列a1a3a2n1点评：通过本题可以看到已知an与Sn的关系求数列通项公式是比较常见的一些方法例3(1)已知an的通项公式an(1)n(5n3)，求 Sn(2)求a2a23a3nan解：(1)Sna1a2a3an(2)7(12)17(22)27(1)n(5n3)555(1)n(5n3)若n为偶数，Sn；若n为奇数，Sn(5n3)(2)设Sa2a23a3nan若a0，则S0；若a1，则S；若a0，且a1，则Sa2a23a3nan aSa22a3(n1)annan1 得：(1a)Saa2annan1nan1S点评：对于求和要根据数列通项的特点，确定求和的方法和推导等比数列前n项和公式一样，要注意其中一些字母的讨论例4已知数列an的前n项和Sn14an2(nN*)，a11(1)设bnan12an，求证：数列bn为等比数列，(2)设cn，求证：cn是等差数列证明：(1)Sn14an2，Sn24an12，相减得：an24an14an，an22an12(an12an)，又bnan12an，bn12bn又S2a1a24a12，a11，a25，b1a22a13bn是以3为首项，2为公比的等比数列，bn32n1(2)cn，cn1cn，而c1cn是以为首项，为公差的等差数列点评：一个表达式中既含有an又含有Sn，一般要利用anSnSn1(n2)，消去Sn或an，这里是消去了Sn例5等差数列an的公差d0，它的部分项依次组成的数列，成等比数列，其中k11，k25，k317(1)求等比数列，的公比q(2)求kn，并求k1k2kn解：(1)an成等差数列，k1 1，k25，k317a1a 5a 14da 17a 116d又成等比数列a 52a 1 a 17即(a 14d)2a 1(a 116d)整理得：16d28a1d，又d0a 12d， a 12d，a 56d3数列的公比为3(2)由(1)得a na 1(n1)d(n1)d(kn1)d又a1qn12d3n1kn23n11k1k2kn(21)(231)(23n11)2(133n1)n3nn1点评：本题揭示了等差数列中的项构成等比数列其项数的规律例6随着人们日常生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华型的标准在飞速发展，为此各种花园式住宅小区在全国各地处涌现现有某市一住宅小区出售面积为150平方米，售价为每平方米4000元的住房若一次性将房款全部付清，可降低10，若无力一次性付款，可先付房款的30，即可入住，剩余房款在15年内分三次等额付清，年利率为1.2求每次付款多少元？总共付款多少元？比售价高出多少元？比一次性付款多付多少？解：面积为150平方米，每平方米4000元的住房，其售价为4000150600000元60万元若一次性将房款全部付清，由于降低10，只须付款6054万元若无力一次性付款，可先付房款的30即6018万元剩余的房款42万元，在15年内分三次等额付清，由于年利率为1.2剩余房款42万元在15年后房款全部付清时，其剩余房款增值为42(10.012) 15万元由于15年内将剩余房款42万元分三次等额付清，设每次付款x万元，则第三次付款x万元时，房款全部付清，这次付款没有利息第二次付款x万元，过5年即到房款全部付清时，所生利息连同本金和为x(10.012)5万元由分期付款的规定，则有：xx(10.012)5x(10.012)1042(10.012)15x42(10.012)15x15.7550(万元)即每次付款15.7550万元，共付款47.2650万元，比住房售价多出5.2650万元，比一次性付款多付11.2650万元点评：本题对分期付款、一次性付款和房价进行了精确的比较，为分期付款提供了理论依据【综合训练】1一个项数为偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别为24和30，若最后一项超过第一项10，那么，该等差数列的项数是( )A18B12C10D8解析：设等差数列的项数为2n，公差为d，根据已知条件解得：n4，2n8因此等差数列的项数为8答案：D2已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A3B3C12D15解析：根据已知条件S53，S1539，且S100(S10S5)2S5(S15S10)即(S103)23(39S10)，整理可得：S1023S101080解得S1012，S1018(舍去)答案：C3如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是( )Aan2(n2n1)Ban32nCan3n1Dan23n解析：由Snan3得：Sn1an13，两式相减得：an1an1anan13an，又S1a13得：a16数列an是首项为6，公比为3的等比数列an63n123n答案：D4一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和为80，所有项之和是210，则项数n是( )A12B14C16D18解析：由已知a1a2a3a440，an3an2an1an804(a1an)4080即a1an30又210n14答案：B5在等差数列an中，d1，S98137，则a2a4a6a98等于( )A91B92C93D94解析：S98137，(a1a3a97)(a2a4a98)137即2(a2a4a98)49d137a2a4a9893答案：C6等差数列an、bn的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于( )A1BC D 解析：答案：C7数列an、bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项之和为( )AB C D 解析：bn，裂项法求得bn前10项的和为答案：B8已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，其中S7S6，S7S8，那么( )Aan中a7最大Ban中a3或a4最大C当n8时，an0D一定有S3S11解析：由S7S6，S7S8得：整理得：a70，a80，且a10，d0当n8时，an0答案：C9一个数列的前n项和为Sn1234(1)n1n，则S17S33S50_解析：注意两项结合，S17S33S50(817)(1633)251答案：110设等差数列an满足3a85a13，且a10，Sn为其前n项和，则Sn中最大的是_解析：根据已知条件3a85a13，且a10即3(a17d)5(a112d)，整理得:da10令ana1(n1)da1(n1)(a1)a1(n)0解得：n，而nN* ，n20数列an中前20项的和最大答案：S2011已知正项等比数列an共有2m项，且a2a49(a3a 4)，a 1a 2a 2m4(a 2a 4a 2m)，则a 1_，公比q_解析：由已知得答案：108 12设an是首项为1的正项数列，且(n1)a n12n a n2a n1an0(nN*)，则数列的通项公式为_解析：根据已知条件(n1) a n12n a n2a n1 a n0得(n1) a n1n a n(a n1a an)0，则，而an 1，各式相乘得：即an答案：a n13项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为_解析：设等差数列的项数为2n1，由已知解得：an11，n4即2n17答案：11，714已知数列an中，a1，an1 (n2)，则S2003_解析：由a1，an1得a21a32a4a1a4a7a2a5a81a3a6a92S2003a1a2a3a2001a2002a2003667(a1a2a3)a2002a2003667(1)2(1)1000答案：100015(1)已知an，求数列an的前n项和Sn；(2)已知an，求数列an的前n项和Sn解：(1)anSna1a2an2(1)2(1)(2)anSna1a2an16三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可以成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数解：设所求三个数为ad、a、ad(d0)由(ad)a(ad)6得a2由(ad)2a(ad)即d3a6则三个数为4，2，8由(ad)2a(ad)即d3a6则三个数为8，2，4因此所求的三个数分别为4，2，8或8，2，417在数列an中，an(n1)()n，nN*，(1)求证：数列an先递增，后递减(2)求数列an的最大项(1)证明：令1，即1，整理得解得n10令1，即1，整理得解得n9从第1项到第9项递增，从第10项起递减(2)解：由(1)知a9a10最大18已知数列an中：a11，2an1an，(1)若bnan，求证数列bn为等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明：由bnan得：bn1an1又2an1an2bn1bn即即bn为公比为的等比数列(2)解：b1a1bnb1()n1anbn19已知数列an满足()a1()2a2()nan (n23n)(1