湖南省师范大学附属中学2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

湖南师大附中2020学年度高二第二学期期中考试数学（理科）第卷（满分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合补集的定义，求出A的补集即可【详解】全集U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4，UA1，3故选：C【点睛】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】，该方程的根所在的区间为。选B3.如果直线与直线互相平行，那么的值等于（ ）A. -2B. C. -D. 2【答案】D【解析】【分析】根据它们斜率相等，可得1，解方程求a的值【详解】直线ax+2y+10与直线x+y20互相平行，它们的斜率相等，1a2故选D【点睛】本题考查两直线平行的性质，熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键，属于基础题4.设的内角，所对边分别为，若，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】由正弦定理得，所以或，又因为，所以应舍去，应选答案A。!5.如图的程序运行后输出的结果为（ ）A. -17B. 22C. 25D. 28【答案】B【解析】【分析】根据流程图，先进行判定是否满足条件x0？，满足条件则执行xy3，不满足条件即执行yy+3，最后输出xy即可【详解】程序第三行运行情况如下：x5，不满足x0，则运行y20+3-17最后x5，y-17，输出xy22故选：B【点睛】本题主要考查了伪代码，条件结构，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题6.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）A. 异面B. 相交C. 平行D. 平行或重合【答案】C【解析】【分析】由题意设l，a，a，然后过直线a作与、都相交的平面，利用平面与平面平行的性质进行求解【详解】设l，a，a，过直线a作与、都相交的平面，记b，c，则ab且ac，由线面平行的性质定理可得bc又b，c，c又c，l，clal故选：C【点睛】本题考查平面与平面平行的性质、线面平行的判定定理及性质定理的应用，解题的关键是熟练运用定理，属于基础题7.在中，已知，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】运用同角的三角函数的基本关系式，求得的值，再利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解【详解】在中，所以，又由，故选A【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，同时考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用，其中解答熟记三角函数的基本公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8.要从已编号（160）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为109.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，分析题意从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值【详解】记“两段的长都不小于2m”为事件A，将长度为5m的绳子依次分成2m、1m 、2m的三段，若符合剪得两段的长都不小于2m，则只能在中间1m的绳子上剪断，所以事件A发生的概率故选：A【点睛】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来10.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，计算出cos，可得答案【详解】，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题，涉及二次方程根的问题，属于基础题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，且，则的最大值是_【答案】4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可【详解】m0，n0，且m+n4，由基本不等式可得mn4，当且仅当mn2时，取等号，故答案为：4【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题12.已知函数，则的值为_【答案】【解析】【分析】先求出f（）2，从而f（f（）f（2），由此能求出结果【详解】函数 f（x），f（）2，f（f（）f（2）22故答案为【点睛】本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用13.等差数列中，则数列的公差为_【答案】6【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d【详解】因为等差数列an中，a33，a833，所以公差d6，故答案为：6【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题14.函数的定义域是 .【答案】 ，【解析】试题分析：根据题意由于有意义，则可知，结合正弦函数的性质可知，函数定义域，故可知答案为，考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。15.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是_【答案】.【解析】【分析】由题意可知，PO平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积【详解】如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO底面ABCD，且POR，SABCD2R2，所以2 R2R，解得：R2，球O的表面积：S4R216，故答案为：16【点睛】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，通常有如下方法：构造三角形，解三角形求出R；找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R三、解答题：本大题共5个小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图（1）估计这次竞赛成绩的众数与中位数（结果保留小数点后一位）；（2）若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数【答案】（1）众数75；中位数约为73.3；（2）360.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中众数与中位数的计算方法，即可求解（2）由频率分布直方图，求得不低于80分的频率，即可求解1200名学生中可以获得礼物的人数，得到答案【详解】（1）由频率分布直方图可知，本次竞赛成绩的众数是.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内，设中位数为，则有，解得.所以中位数约为73.3.（2）由频率分布直方图，可得不低于80分的频率，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图中众数、中位数，以及频率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题17.已知函数的图象经过点.（1）求的值；（2）求函数的定义域和值域；（3）证明：函数是奇函数【答案】（1）1；（2）的定义域为；值域为；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据函数的图象过点，利用，即可求解；（2）由（1）知，根据，求得，进而求解函数的值域；（3）利用函数奇偶性的定义，即可判定函数为奇函数【详解】（1）由题意知，函数的图象过点，可得，解得.（2）由（1）知，函数，即的定义域为.因为，又，所以的值域为（3）的定义域为，且，所以是奇函数【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及函数奇偶性的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18.如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连结，交于点.连结，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）由四边形正方形，所以，又由因为底面，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得结论；（3）由，求得，进而利用面积公式，即可求解【详解】（1）连结，交于点.连结，因为四边形是正方形，所以为的中点，又为的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，因为底面，所以，又，所以平面.（3）因为，又因为底面是边长为2的正方形，所以，所以，又因为是的中点，所以.所以，所以四棱锥的侧面积 .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积与表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的表面积与体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题19.已知向量，.（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得，求得，即可求解；（2）利用三角恒等变换的公式，化简，再利用三角函数的性质，即可求解【详解】（1）因为，所以，解得.（2）由三角恒等变换的公式，化简得，当时，所以的值域为.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，其中解答熟记向量的数量积的运算公式，以及合理应用三角恒等变换的公式和三角函数的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题20.已知数列的前项和为，且2，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）对于（2）中的，设，求数列中的最大项【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由成等差数列，得，利用和的关系，化简得，进而得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求解其通项公式；（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求的；（3）由（1）（2）可得，设数列的第n项最大，列出不等式组，即可求解实数n的范围，得到答案【详解】（1）由题意知成等差数列，所以，可得， -得，所以，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可得，用错位相减法得：，-可得.（3）由（1）（2）可得，设数列的第n项最大，则，可得，解得所以或 时，最大，即为中的最大项【点睛】本题主要考查等差、等比数列综合应用、以及“错位相减法”求和、数列的最大项的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定数列的通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查了逻辑思维能力及基本计算能力等.第卷（满分50分）一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的21.命题“若，则”的否命题为：“若，则”；命题“，”的否定是“，”；命题“若，则”的逆否命题为真命题；“”是“”的必要不充分条件其中真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定、全称命题与特称命题的关系、四种命题的关系和充要条件的判定方法，对选项逐一判定，即可得到答案【详解】由题意，为假命题，“若，则”的否命题应为“若，则”；为假命题，“，”的否定应为“，”；由命题“若，则”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以正确；为假命题，“”是“”的充分不必要条件选A.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记命题的否定、全称命题与特称命题的关系、四种命题的关系和充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题22.双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】由题意可得，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或(舍去)故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题23.设，是1，2，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A. 96B. 144C. 192D. 240【答案】B【解析】【分析】由题意知8的顺序数为2，则8必是排第三位，7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，分为两种，利用分类计数原理，即可求解【详解】由题意知8的顺序数为2，则8必是排第三位，7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，分为两种，（1）当5在6的前面，那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有种；（2）当6在5前面，5在第7位，有种所以满足题意的排列总数为种故选B.【点睛】本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分24.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知抛物线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）设直线与抛物线的两个交点为、，点为抛物线的焦点，则的值为_【答案】【解析】【分析】得出抛物线的直角坐标方程为，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，利用抛物线的定义，即可求解，得到答案【详解】由抛物线极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），可得抛物线的直角坐标方程为，直线的方程为，设、，则由解得，又直线过抛物线的焦点，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及抛物线的定义应用，其中解答中把根据互化公式，化简得到抛物线和直线的直角坐标方程，再利用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题25.若存在实数满足，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对等式的两边取自然对数，得，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合函数的图象，即可求解【详解】由题意，因为，对等式的两边取自然对数，得，即，构造函数，则，令得.易知在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，因为，所以当时；当时.如图所示，可以看成是函数的图象与直线的两个交点的横坐标因为，所以的取值范围是【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中对等式两边取对数，构造新函数，利用导数得到函数的单调性和最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤26.如图，设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作与垂直的直线交轴负半轴于点，且.（1）若过，三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；（2）在（1）条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在满足的点且的取值范围是.【解析】【分析】（1）设，由，根据，求得，得出，又由圆与直线相切，得，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）由（1），设：，联立方程组，利用根与系数关系求得，再由菱形的对角线垂直，得到，列出方程，求得，即可求解【详解】（1）设，由，则，.由于，故，即，于是，.又因为的外接圆圆心为，半径.该圆与直线相切，所以.，.所求椭圆方程为.（2）由（1）知，设：，由消掉，得.设，则，由于菱形的对角线垂直，故，故，即，即：，由已知条件知且，故存在满足的点且的取值范围是