一道课本习题的深化和发展

一道课本习题的深化和发展 055350 河北隆尧一中 焦景会在当前中学数学教学中，往往对课本中的例题、习题重视不够。事实上，课本中许多例题、习题具有很强代表性、典型性，对其深化和发展、全方位探索，可以促进学生研究课本，真正掌握基础知识，提高他们的解题能力。现举一例如下：题目：如果函数f(x)=lg，求证f(a)+f(b)=f()（高中数学第一册上）。此题证法简单，只许将a、b代入等式左边进行对数运算即可得证。下面对此题进行重新编拟，综合思考，将会对函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，反函数的性质及求法得以加深和巩固。一、 对原题条件多方面思考1、求f(x)的定义域及值域解：要使f(x)有意义，须0，解之得1x1，即为f(x)定义域。由对数的定义及性质可得f(x)值域为R。2、讨论f(x)的奇偶性由于f(x)定义域表示的区间在数轴上关于原点对称，当x(1, 1)时，x(1, 1)，由f(x)+ f(x)=lg+lg=lg=lg1=0，得f(x)= f(x)，故f(x)在(1, 1)上为奇函数，由此可知，=也成立。3、讨论f(x)单调性设y=f(u)=lgu，u(0, +), u=g(x) =, x(1, 1)，由函数u=g(x)= =1，易知u=g(x)在x(1, 1)上为减函数，而y=f(u)=lgu，在u(0, +)上为增函数，故y=fg(x)=lg在x(1, 1)上为减函数。4、f(x)的反函数设y= f(x)=lg，从中可求得10y=，得x=，对换x、y得y=f1(x)= 即为f(x)的反函数，定义域为R。因为单调函数与其反函数有相同单调性，所以f1(x)也是减函数。又因为奇函数若有反函数，则反函数也是奇函数，故f1(x)也是奇函数。二、对结论类比推广1、已知函数f(x)，若对任何实数a、b都有=成立，求证：f(x)为奇函数。证：由a、bR且)=成立，可取b=0，得f(a) +f(0)= f(a)，得f(0)=0，再取a=b，得f(a)+ f(a)=f(0)=0，即f(a)= f(a)，又a为任意实数，即得f(x) = f(x)，f(x)为奇函数。（后一情形证略）。注：函数f(x)定义域表示区间在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。2、如果y= f(x)，xR，对任何a、b都有f(a) +f(b)= f(a+ b)或f(a) f(b)= f(ab)成立，则f(x)为奇函数。（证明略）3、若y= f(x)，xR，对任何a、b都有=，成立，则f(x)是奇函数。证：由 可取a=b=0得2f(0)= ，得f(0)=0，再取a=b，得f(a)+ f(a)= =0，即f(a)= f(a)，因a为任意实数，即得f(x)= f(x)，f(x)为奇函数。（另一情形略）4、若y= f(x)定义域关于原点对称，当a、b是定义域中数时，有= 或= 成立，则f(x)为奇函数。证：f(x)定义域关于原点对称，且当a、b是定义域中数时，有= 成立，ba、(ba)也是定义域中的数，由题设关系式变形为= ，于是有= = =f(ba)，f(x)为奇函数。（另一情形略）。三、深化发展，综合应用例1、已知f(x)= lg，若=1，=3，其中|a|1，|b|1，求f(a)和f(b)的值。解：由于=， =，得方程组： ， 解得。例2、若f(x)对任意a、bR，都有f(a+b)= f(a)+ f(b)成立，且x0时，f(x)0，f(1)2，求f(x)在2，2一的值域。解：由前面讨论知，f(x)在R上为奇函数，下面讨论f(x)在R上单调性。设x1、x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)= f(x1)+ f(x2)=f(x1x2)，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数，故f(x在2，2上最大值为f(2)=f(2)=f(1)+ f(1)=2f(1)=4，故f(x)最小值为f(2) = f(2)= 4，所以f(x)值域为4，4。例3、若f(x)对一切a、bR都有f(a)f(b)= f(ab)成立，且当x0时，f(x) 0，则f(4a1)+ f(12a)f(a2+1)。证：由前述可知f(x)在R上为奇函数。下面讨论f(x)在R上单调性。设x1、x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)= f(x1x2) 0，故f(x)在R上为增函数，于是，不等式左边为f(4a1)+ f(12a)= f(4a1)f(2a1)= f(2a)，而2aa2+1，