三角函数研讨会材料

三角复习要求（30分钟）：1、 解读考试说明2、 近三年考题回顾及2006年高考展望3、 教材梳理及教学建议4、 典型例题及习题推荐一、高考要求1、考试内容（16个知识点）：角的概念的推广。弧度制。任意角的三角函数。单位圆中的三角函数线。同角三角函数的基本关系式。正弦、余弦的诱导公式。角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。正弦函数、余弦函数的图像和性质。周期函数。函数y=Asin（）的图像。正切函数的图像和性质。已知三角函数值求角。正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。2、考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式：sin2十cos2 =1， = tan ，tan cot =1。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（）的简图，理解A、的物理意义。（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctan x表示。（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。3、列表对应三角考点考纲要求角的概念的推广 理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明弧度制任意角的三角函数 掌掘任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义 单位圆中的三角函数线 同角三角函数的基本关系式 掌握同角三角函数的基本关系式：sin2十cos2 =1，sin cos = tan ，tan cot =1 正弦、余弦的诱导公式掌握正弦、余弦的诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，周期函数 了解周期函数与最小正周期的意义函数y=Asin（）的图像 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（）的简图，理解A、的物理意义已知三角函数值求角会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin、arccos、arctan表示正弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。余弦定理 斜三角形解法二、考题回顾1、（03江苏3）已知（ D ）（A）（B）（C）（D）2、（03江苏18）已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分. 解：由f(x)是偶函数，得f(x)= f(x). 即： 所以对任意x都成立，且所以得=0.依题设0，所以解得，由f(x)的图象关于点M对称，得.取x=0,得=，所以=0.3、（04江苏2）函数y=2cos2x+1(xR)的最小正周期为 （ B ）A B C D4、（04江苏17）已知0，tan+cot=，求sin()的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知. 从而 5、（05江苏5）ABC中，A，BC3，则ABC的周长为（ D ） (A) ( B) ( C) (D) 评述:本题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用。 解析：在中，由正弦定理得：化简得AC= ，化简得AB=， 所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+ =3+ 故选D.6、（05江苏10）若 (A) ( B) ( C) ( D) 本题考查三角函数两角和公式，倍角公式及三角恒等变形和相关计算能力。 解析=-1=2 （* ）又由题意知：则即所以：（*）=， 故选A。三、考题分析与解说从近年的高考试题分析，高考试题内容主要有两方面：其一是考查三角函数的性质和图象变换，尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为填空题和选择题；例1：（03全国理4）函数的最大值为 （ ） （A） （B） （C） （D）2例2（03上海文1）函数的最小正周期T= 例3（04北京理9）函数的最小正周期是例4（04北京文9）函数的最小正周期是_例5（04广东9）当时,函数的最小值是 （ D ） A 4 B C2 D 例6（03上海文13）下列函数中，既为偶函数又在（0，）上单调递增的是（ C ）Ay=tg|x|.By=cos(x).CD.例7（05天津理8）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的（C）A、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度例8（04辽宁11）若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是（ C ）ABCD例9（04河南文9）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ B ）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容；例10（04河南文18）求函数的最小正周期、最大值和最小值.例11（04四川文18）已知锐角三角形ABC中，（）求证；（）设AB=3，求AB边上的高.例12（04陕西文18）已知为锐角，且的值.例13（04上海理1）若tg=,则tg( +)= 3 例14（04天津文12）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，则的值为（ D ）A B C D例15（04重庆文5） （ B ） A B C D例16（05江苏10）若 (A) ( B) ( C) ( D) 其三是实际应用和与其他知识结合运用。例17（05天津理20）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC = 80（米），塔所在的山高OB = 220（米），OA = 200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a，。试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）。例18（04福建文17）设函数f(x)=ab，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，xR.（）若f(x)=1且x，求x；（）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m| c，b + c a，c + a b，ab c，bc b（3）边与角关系：正弦定理 （R为外接圆半径）余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA它们的变形形式有：a = 2R sinA，（4）面积公式：解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C（二）三角函数性质的分析1三角函数的定义域这两种表示法都需要掌握即角x不能取终边在y轴上的角函数y=cotx的定义域是x或(k，k+)(kZ)，这两种表示法都需要掌握即角x不能取终边在x轴上的角(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同2三角函数的值域(1)由|sinx|1、|cosx|1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|1、|secx|1(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域常用的一些函数的值域要熟记y=tanx+cotx(-，-22，+)3三角函数的周期性(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值因为sin(2k+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2k(kZ，k0)是y=sinx的周期，最小正周期是2同理2k(kZ，k0)是y=cosx的周期，最小正周期是2因为tan(k+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以k(kZ，k0)是y=tanx的周期，最小正周期是同理k(kZ，k0)是y=cotx的周期，最小正周期是(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可4三角函数的奇偶性，单调性研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间5三角函数的图象(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx 图象的对称中心分别为Z)的直线（三）解题思想与方法1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。（四）注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值2三角变换的一般思维与常用方法注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如也要注意题目中所给的各角之间的关系注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等熟悉常数“1”的各种三角代换：等注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式但往往代数运算比较繁熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 sin = tan cos ，等利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，等从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化3几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升次公式；1sin 可化为，再用升次公式；（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图6.三角函数的奇偶性“函数y = sin (x) （R）不可能是偶函数”是否正确分析：当时，这个函数显然是偶函数因此，这个判断是错误的我们容易得到如下结论： 函数y = sin (x)是奇函数 函数y = sin (x)是偶函数 函数y =cos (x)是奇函数 函数y = cos (x)是偶函数7.三角函数的单调性“正切函数f (x) = tan x，是定义域上的增函数”，是否正确分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：任取，显然x1x2，但f (x1 )0f (x2 )，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的观察图象可知：在每一个区间上，f (x ) = tan x都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数五、复习建议第一轮复习重视诱导公式的归纳和作用：为了便于记忆，两套诱导公式可概括为：对于的各三角函数值，奇变偶不变，符号看象限它的作用是将任意角的三角函数化为锐角三角函数，从中领会化归的数学思想及蕴含的创新意识三角函数线作为三角函数的几何表示，可适当补充一些三角函数线的应用，如比较三角函数值的大小；已知求x, 让学生增强“数形结合”的意识，也为今后学习有关内容打下基础同角公式的应用中，对于已知某任意的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值，如已知tant(t0),求sin,cos解决这个问题，关键在于如何正确运用平方根的概念，正确的进行分类通过训练，让学生自己去体会总结最佳途径，以免多走弯路切实提高“活”用公式的能力，加强逆用公式及变形公式应用的训练要求学生在解题中不断的总结规律，归纳三角恒等变形中常用的变换方法如函数名的变换，角的变换，升降次的变换，“1”的变换等等加强数学思想方法的传授如运用数形结合的思想方法，可更好的理解三角函数的图象和性质。从而明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，拓宽思维空间，提高解决问题的能力第二轮复习复习时，应侧重于以下几方面： 三角函数的工具性及与其它知识点的综合应用，例如三角函数在向量、立体几何、 解析几何中的应用，不等式中的三角换元等； 在复习时应准确定位三角函数在高考题型中一般难度不大，应主要定位在基本题与中档题，不随意拓宽，不过分挖深； 应重点复习三角函数的图象与性质； 科学的教学方法在三角函数这一章中，由于公式较多，应让学生总结（学生的主体性）； 注重选择题的解法必要的解题技巧、考试技巧，不刻意追求，但不讲不行；由于第二轮复习时间短，因此必须有针对性（高考题型与薄弱环节）复习方略：从近几年高考考查的方向来看，该部分的命题方法仍以选择题形式考查学生对基础知识的掌握，涉及角的范围，周期性，单调性以及最值，在三角变换方面，主要是求三角函数式的值，其次是通过三角式的变换研究三角函数的性质，题目一般以基本题和中档题出现，难题的可能性较小，因此，我们只要对公式熟练掌握并掌握一些常用的变换技巧，就能够适应高考的要求（1）重视数学思想方法的复习三角函数的题目多以选择、填空题形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合、代入检验法、特殊值法、排除法等另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论，如：关于对称问题，要利用的对称轴为，对称中心为等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征在求三角函数值问题，要学会用勾股数解题的方法，能起到事半功倍的效果（2）加强三角函数应用意识的训练1999年高考理科第第20题实质上是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数建立联系，造成思维障碍，思路受阻，实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，可客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点，总之，三角部分的考查保持了内容稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点的三角函数的概念，性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法（3）变为主线、抓好训练变是三角函数的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变化比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律解题方法点拨：（1）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小问题，一般先将函数化为基本函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，也可用赋值法（2）有关三角函数最小正周期的求法，主要是通过等价转化，化归为基本三角函数，形如的函数，然后套用