湖南长沙长郡中学高三数学第五次调研考试文

湖南省长沙市长郡中学2019届高三数学上学期第五次调研考试试题 文（含解析）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知实数a满足i2+ai=4+2i，且z=ai+32-i，则z=A2i B-2i C2-i D-2-i2设集合A=x1x1，B=yy=1-3x，则AB=A（0，1） B0，1） C（0，1 D0，13“函数fx=-x2-2a+1x+3在区间-,2上单调递增”是“a-4”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知函数y=loga2x-1+3的图象过定点P，且角的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，则sin2+2的值为A35 B45 C-45 D-255数列an满足点an,Sn ,n1 在直线y=3x-2上，则前5项和为A21116 B21132 C21164 D-211326设点O为坐标原点，点E（1，k），点P（x，y）满足x0y0x-2y+403x-2y-60，若目标函数z=OEOP的最大值为10则实数kA2 B5 C109 D747我国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，“物不知数”问题，原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数这类问题可以用计算机解决记Nr（MOD m），即正整数N除以正整数m的余数为r，例如102（MOD 4）执行如图所示的程序框图，则输出的i等于A6 B5 C8 D78已知命题p:fx=12+12x-1为奇函数；命题q:x0,2,sinxx0上一点M（4，y0）（y00）到焦点F的距离为5，直线l过点N（-1，0），且lOM，则直线l与抛物线C的交点个数为A0个 B1个 C2个 D1个或2个10已知函数fx=2sinx+0,0,b0的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线C上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线交于点Q，P、Q均位于第一象限，且P为QF2的中点，则双曲线C的离心率为_16已知直线l:Ax+By-2A+B-A-5B=0与曲线C:x2+y2=2x+y至少有一个公共点，则BA的取值范围是_三、解答题17已知正项数列an满足a1=1,an+1=nan2+n（）求数列an的通项公式；（）令bn=n+1an-nan+1，记数列bn的前n项和为Tn，求证：Tnk22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=6-22ty=22t（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为=22cos-4（）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；（）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45的直线，设该直线与直线l交于点B，求AB的最值32019届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】先利用复数相等得到a=-4，再利用复数的除法得到z.【详解】因为i2+ai=-a+2i=4+2i，故a=-4.又z=3-4i2-i=3-4i2+i5=10-5i5=2-i，故选C.【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念，属于基础题.2A【解析】【分析】算出两个集合后可求它们的交集.【详解】A=0,1，B=0,1，故AB=0,1，故选A.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如x|y=fx,xD表示函数的定义域，而y|y=fx,xD表示函数的值域，x,y|y=fx,xD表示函数的图像.3B【解析】【分析】考虑函数fx在-,2上为单调递增时实数a的取值范围后可得两者的关系.【详解】若a-4，则对称轴x=-a+132，所以fx在-,2上为单调递增，取a=-3，则对称轴x=-a+1=2，fx在-,2上为单调递增，但a-4，所以“fx在-,2上为单调递增”是“a-4 ”的必要不充分条件.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p则q”是真命题，“若q则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件；若“若p则q”是真命题，“若q则p”是真命题，则p是q的充分必要条件；若“若p则q”是假命题，“若q则p”是真命题，则p是q的必要不充分条件；若“若p则q”是假命题，“若q则p”是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件.4C【解析】【分析】先求出P的坐标，再求出sin，最后利用倍角公式求出cos2后可得sin2+2.【详解】因为y=loga2x-1+3的图像过定点P，所以P1,3，故sin=310，sin2+2=cos2=1-2sin2=1-95=-45，故选C.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.5A【解析】【分析】根据点在直线上可以得到Sn=3an-2，从而得到an=32an-1，故an为等比数列，根据公式可求S5.【详解】因为an,Sn在直线y=3x-2上，所以Sn=3an-2，故Sn-1=3an-1-2，所以当n2时，有an=3an-3an-1即an=32an-1，又a1=1，故an0，所以anan-1=32，所以an是首项为1，公比为32的等比数列，S5=11-3251-32=2243-3232=21116 ，选A.【点睛】数列的通项an与前n项和Sn 的关系式an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2，我们常利用这个关系式实现an与Sn之间的相互转化.6C【解析】【分析】目标函数为z=x+ky，画出不等式组对应的可行域，分k0,k0两种情形结合目标函数最值讨论动直线z=x+ky的位置可得实数k的值.【详解】由题设，有z=x+ky，不等式组对应的可行域如图所示：其中，A2,0，B5,92，C0,2.当k0时，动直线过B时有z有最大值，且最大值为5+92k=10，故k=109.当k0时，动直线过A或B时z有最大值，过前者，则最大值为2，不合题意；若为后者，k=109，舍去.综上，k=109，选C.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如3x+4y表示动直线3x+4y-z=0的横截距的三倍 ，而y+2x-1则表示动点Px,y与1,-2的连线的斜率7C【解析】【分析】流程图的作用是求最小的正整数，满足除以3,5,7的余数分别为2,3,2【详解】流程图是求最小的正整数，满足除以3,5,7的余数分别为2,3,2除以3余数为2的正整数依次为2,5,8,11,14,17,20,23,27, ，其中第一个除以5,7余数分别为3,2的正整数为23，是第8个整数，故i的输出值为8，选C【点睛】本题考查流程图，要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值，属于基础题8B【解析】【分析】先判断命题p,q都是真命题，故可得正确选项【详解】对于p，fx的定义域为-,00,+，f-x=12+12-x-1=12+2x1-2x，进一步化简得到f-x=12+2x-1+11-2x=-12-12x-1=-fx，故fx为奇函数，故p为真命题对于q，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，DOB=x,CE=sinx,BC=x，BD=tanx，因为SOBCS扇形OBCSOBD，故121sinx121x12xtanx，即sinxx0 上的点Px0,y0到焦点的距离为x0+p2；抛物线x2=2pyp0 上的点Px0,y0到焦点的距离为y0+p2.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程和抛物线方程结合判别式来讨论.10B【解析】【分析】根据函数的零点和对称轴得到的值，再根据fx0fxfx0+13恒成立可以得到的表达式，求出的最小值后再求函数的单调区间可得正确的选项.【详解】因为x=-4为函数的零点，故-4+=k1,k1Z.因为x=4是图像的对称轴，故4+=k2+2,k2Z，故2=l+2，lZ. 因13；所以fx=2sin13x+4，令2k-213x+42k+2，kZ，故2k13-35213x+42k13+52，所以fx在-352,52上为增函数，故选B.【点睛】一般地，我们研究y=Asinx+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定u=x+的单调性，再函数的单调性确定外函数y=sinu的单调区间后求出x的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由y=sinu的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.11D【解析】【分析】设ABC的外接圆的圆心为O，则OA+OB+OC=0，故PA+PB+2PC=4PO+OC，计算4PO+OC2的最大值可求PA+PB+2PC的最大值.【详解】设ABC的外接圆的圆心为O，则圆的半径为33212=3， OA+OB+OC=0，故PA+PB+2PC=4PO+OC.4PO+OC2=51+8POOC51+24=75，故PA+PB+2PC53，当PO,OC共线同向时取最大值.选D.【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三角形ABC 中，如果G为三角形的重心，则GA+GB+GC=0.12A【解析】【分析】原方程可以化成ex2ex=a+lnyy，取fx=ex2ex,x-1,4，gx=a+lnxx,x1,e，利用导数研究两个函数的单调性、极值和最值可得实数a的取值范围.【详解】原方程可以化成ex2ex=a+lnyy，取fx=ex2ex,x-1,4，gx=a+lnxx,x1,e.fx=e2x-x2ex,x-1,4，当x-1,0时，fx0，故fx在0,2上为增函数；当x2,4时，fx0，gx在1,e上为增函数.因为关于x的方程ex2ex=a+lnyy在-1,4有三个不同的实数根，故g1f4gef2，故a16e3a+1e4e，解答16e3afx0（fxfx0）” 另外如果fx在x0附近可导且x0的左右两侧导数的符号发生变化，则x=x0必为函数的极值点且fx0=0155-1【解析】【分析】Q的坐标为a,b，从而Pa+c2,b2，代入双曲线方程后可得离心率【详解】双曲线的一条渐近线的方程为y=bax，设其倾斜角为，右焦点F2c,0，则tan=ba，故cos=ac,sin=bc又Cccos,csin，故Ca,b，所以Pa+c2,b2，代入双曲线方程有a+c24a2-14=1，从而e=5-1填5-1【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a,b,c的不等式或不等式组16-1,0【解析】【分析】直线l过定点E2+1,2+5，曲线C如图所示，计算出动直线与曲线在第二象限内的圆弧相切以及动直线与第一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得BA的取值范围【详解】直线l过定点E2+1,2+5，曲线C如图所示：其中A-1,1，各圆弧所在圆的半径为2，设过E的动直线为y=kx-2-1+2+5即kx-y+2+5-2+1k=0，考虑动直线与第二象限的曲线相切时有4+2-2+2kk2+1=2，解得k=1或k=22（舎）过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作x的平行线，与曲线在第一象限内的交点为B，则B2+1,1，故直线EB分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切，故当动直线与曲线至少有一个公共点时，若斜率存在（B0），则k1即-AB1，也就是-1BA0；若斜率不存在，则B=0综上，-1BA0，故填-1,0【点睛】动直线中含有两个参数，因为两个参数是齐次的，故而可判断动直线过定点曲线的方程具有这样的特点：若Px,y在曲线上，则Qx,y也在曲线上，故曲线关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称，故而可准确刻画曲线的形状17（）通项公式为an=n；（）详见解析【解析】【分析】（1）用数学归纳法可求an的通项（2）由（1）可得bn=n+1n-nn+1，利用基本不等式可以证明bn13n+132-13n32，从而可证Tn2n+1n+n+1n=3n+1n，所以13n+132-13n32n+1-nn+1n=n+1n-nn+1=bn，所以Tn13232-132+332-232+n+132-n32=13n+132-13，故Tn13n+132【点睛】求数列的通项的基本方法有累加法、累乘法、配凑法等，每一种方法都有对应的递推关系，如an-an-1=fn用累加法，anan-1=fn用累乘法也可以利用数学归纳法求通项（先猜后证）数列不等式的证明，可先求和再对和进行估计，如果不能求和，则需要对通项进行放缩，使得得到的新数列的前n和易求且易估计18（）详见解析；（）存在，=13；【解析】【分析】（1）利用平面PAC平面ABC得到BC平面PAC，从而得到BCPC，根据MN 为中位线得到MNPE，故MNPC （2）M到平面ACN的距离与E到平面ACP的距离之比为1:2，因此M到平面ACN的距离与B到平面ACP的距离之比为1:4，只需要SACNSACP=13就有VM-ACNVM-ACP=112，此时ANAP=13，故可得的值【详解】（1）因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BC平面ABC，BCAC，故BC平面PAC因PC平面PAC中，故BC PC在APE中，由AN=NP,AM=ME可以得到MNPE，而BCPE，所以MNBC，故MNCP（2）当=13时，有VM-ACNVM-ACP=112因为=13，所以SACNSACP=13设M到平面ACN的距离为d1，E到平面ACN的距离为d2，B到平面ACN的距离为d3，由M为中点可得d1d2=12，又由PEBC,BC=2PE可得d2d3=12，故d1d3=13，所以VM-ACNVM-ACP=13SACN13SACPd1d3=112【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.不同三棱锥的体积关系可考虑它们的底面面积之比和高之比，注意选择共面的几何图形计算面积之比，选择共线的点计算高之比.19（）y=cx2+d更适宜作为月销售额关于月广告投入的回归方程；（）月广告投入220万元时的月销售额为21782.233万元【解析】【分析】（1）根据散点图选择y=cx2+d作为回归方程（2）利用公式及所给数据计算回归方程后可估计月销售额【详解】（1）根据散点图选择y=cx2+d作为回归方程（2）令w=x2，则c=i=15wiyi-5wyi=15wi-w2=34.15-510.3515.853.56=0.45，d=y-0.45w=15.85-0.4510.35=2.233，故回归方程为y=0.45x2+2.233，当月广告投入为220万元时，月销售额为y=0.452202+2.23321782.233（万元）答：选择y=cx2+d作为回归方程，当月广告投入为220万元时，月销售额约21782.233（万元）【点睛】回归分析中，回归方程类型的确定是关键，应根据散点图的特征选择合适的拟合函数（要熟悉常见函数的图像）20（）直线l的普通方程为x+y-6=0，轨迹C的方程为y2=8x ；（）Q点的横坐标为5【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求出C的方程（2）求出A,B两点的坐标后求出曲线C在A,B,Q三点处的切线方程，求出交点R,S,T的坐标后可计算RST面积，从而得到Q的坐标【详解】（1）点P到F的距离与点P到直线x=-2的距离相等，故P的轨迹为抛物线，从而C:y2=8x （2）令x=2，则A2,4， B2,-4当y0时，有y=22x，故抛物线在A2,4处切线的斜率为k=22-12=1，故在A2,4处切线方程为y=1x-2+4=x+2 同理B2,-4处切线方程为y=-x-2故R-2,0若xQ=0，则SRST=1224=4，舎；若xQ0，可设Q在第一象限，则抛物线在Q处切线的斜率为k=2xQ-12，故在Q处切线方程为y=2xQ-12x-xQ+22xQ12=2xQ-12x+2xQ12 由y=2xQ-12x+2xQ12y=x+2得xS=2-2xQ122xQ-12-1=2xQ12，同理xT=-2xQ12，所以RS=22+2xQ12，RT=22-2xQ12SRST=1224-2xQ=6，解得xQ=5或xQ=-1（舎）【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）直线与抛物线的相切问题，可借助于导数来计算切线的斜率.21（）当a0时，fx的增区间为0,+；当a0时，fx在0,-12a为增函数，在-12a,+为减函数（）详见解析【解析】【分析】（1）分a0和a2x1+x2，不妨设x1x2，则不等式又可以转化为lnx1x22x1x2-1x1x2+1即lnt2t-1t+1,t1，利用导数可证该不等式【详解】（1）fx=1x+2ax=2ax2+1x当a0时，fx0，故fx的增区间为0,+当a0时，若0x0，故fx在0,-12a为增函数；若x-12a，则fx0，故fx在-12a,+为减函数；综上，当a0时，fx的增区间为0,+；当a2x1+x2，不妨设x1x2，则原不等式又等价于fx1-fx22x1-x2x1+x2，