青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校届高三数学4月联考试题文（含解析）

2019高考模拟三校联考文科数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求。1.若复数，则z的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复数的运算，化简复数为代数形式，再根据共轭复数的概念，即可求解.【详解】由，由共轭复数的概念，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的应用，其中解答中熟记复数的运算，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.设全集，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合A，再求出CUA，再利用交集概念求解。【详解】因为集合A=xx210=xx1，所以CUA=x|1x1，所以CUAB=x|00时，函数fx=ex2x1 ，可得fx=ex2，当x0,ln2时，fxln2时，函数是增函数，排除项选项A,D，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象11.设F1，F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且PF1PF2=0，则PF1+PF2= （ ）A. 10B. 210C. 5D. 25【答案】B【解析】根据题意，F1、F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点点P在双曲线上，且PF1PF2=0，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，PF1+PF2=2|PO|=|F1F2|=210故选B12.定义域为R的奇函数fx，当x-,0时，fx+xfxbcB. cbaC. cabD. acb【答案】D【解析】【分析】构造函数gx=xfx ，则根据fx是奇函数且当x,0时，fx+xfx0恒成立得到gx=xfx的单调性与奇偶性，进而判断大小关系。【详解】构造函数gx=xfx因为fx是奇函数，所以gx=xfx为偶函数当x,0时，fx+xfx0恒成立，即gxcb所以选D【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的综合应用，比较函数的大小关系，属于中档题。二、填空题13.已知a=2,b是单位向量，且a与b夹角为60，则aa-b 等于_【答案】3【解析】a(ab)=|a|2ab=42112=314.已知F是抛物线C：y2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x1，则|PF|_【答案】178【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可【详解】由y=2x2，得x2=12y，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178，故答案为：178【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题15.已知A，B分别是双曲线C：x2m-y22=1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则PAB的外接圆的标准方程为_【答案】x2+(y-3)2=10【解析】【分析】由点P3,4为C上，求m,由外心设外心坐标M(0,t),M在PB的中垂线上求t即可【详解】P3,4为C上一点,9m-162=1,解得m=1,则B(1,0),kPB=42=2,PB中垂线方程为y=-12x-2+2,令x=0,则y=3,设外接圆心M(0,t),则M(0,3),r=MB=1+32, PAB外接圆的标准方程为x2+(y-3)2=10故答案为x2+(y-3)2=10【点睛】本题考查圆的标准方程，双曲型方程，熟记外心的基本性质，准确计算是关键，是基础题16.将函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x1的图象向右平移（0）个单位长度后，其函数图象关于y轴对称，则的最小值为_【答案】3【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，可得函数f(x)=2sin(2x+6)，再由三角函数的图象变换，求得g(x)=2sin(2x-2+6)，根据函数的对称性，即可求解.【详解】由题意，函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6)，则fx的图象向右平移个单位，可得g(x)=2sin2(x-)+6=2sin(2x-2+6)，又由g(x)的图象关于y轴对称，所以g(0)=2sin(2-6)=2，即sin(2-6)=1，解得2-6=2+k,kZ，即=3+k2,kZ，当k=0时，求得最小值=3.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图象变换和三角函数的性质的应用，其中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，数列应用三角函数的图象变换和三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,其中a=23，且23+bsinA-sinB=c-bsinC（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积的最大值.【答案】（1）A=3（2）最大值33.【解析】【分析】（1）利用正弦定理得a2-b2=c2-bc，再由余弦定理求得cosA=12，即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式，求得bc的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求解面积的最大值，得到答案.【详解】1在ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c且a=23，且23+bsinA-sinB=c-bsinC整理得a+bsinA-sinB=c-bsinC，利用正弦定理得a2-b2=c2-bc，又由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=12，由于0Ak0)0.100.050.010.005k02.7063.8416.6357.879【答案】（1）有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）710.【解析】分析：（1）将22列联表中的数据，代入公式，求得2的值，即可做出判断；（2）从5名数学教师中任选3人，列举出所有的基本事件的总数，即可利用古典概型及概率的计算公式求解详解：解(1)将22列联表中的数据代入公式计算，得24.762. 由于4.7623.841，所以有95%把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. (2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)其中ai表示喜欢甜品的学生，i1,2.bj表示不喜欢甜品的学生，j1,2,3.由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的. 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3) 事件A是由7个基本事件组成，因而P(A).点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算，独立性检验的应用，其中解答中准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力19.己知三棱柱ABCA1B1C1, 点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BCA=90,AC=BC=2,又知BA1AC1.（1）求证：AC1平面A1BC；（2）求点C到平面A1AB的距离.【答案】（1）见证明；（2）h=2217【解析】【分析】（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，利用线面垂直的判定定理，证得BC面A1AC，得到BCAC1，又由BA1AC1，再利用线面垂直的判定定理，即可证得AC1平面A1BC.（2）作DEAB与点E，连接A1E,作DFA1E，利用线面垂直的判定定理，得AB平面A1DE，在RtA1DE中，求得DF=A1DDEA1E=217,进而得到C到平面A1AB的距离.【详解】（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，由BCA=90得BCAC，因为A1D底ABC，所以A1DBC，且A1DAC=D，所以BC面A1AC，又由AC1平面A1AC，所以BCAC1，因为BA1AC1，BA1BC=B，由线面垂直的判定定理，可得AC1平面A1BC.（2）作DEAB与点E，连接A1E,作DFA1E，因A1D平面ABC，所以A1DAB,DEAB,DEA1D=D,所以AB平面A1DE，又DE平面A1DE，在RtA1DE中，DF=A1DDEA1E=217,因为D为AC的中点，所以C到平面A1AB的距离为2217. 【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及点到平面的距离的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及点到平面的距离的定义，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.20.已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0的离心率为32，且过点2,221求椭圆方程；2设不过原点O的直线l:y=kx+mk0与该椭圆交于P,Q两点，直线OP,OQ的斜率依次k1,k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）m2=12，证明过程详见解析【解析】试题分析：（1）求椭圆的标准方程，就是要确定a,b的值，只要找到两个关于a,b,c的等式即可，本题中一个离心率，一个是椭圆过已知点，由此可得；（2）设交点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y后，可得x1+x2,x1x2，计算4k=k1+k2，化简后并把x1+x2,x1x2代入可得结论试题解析：（1）依题意可得(2)2a2+(22)2b2=1ca=32a2=b2+c2解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是x24+y2=1.（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由y=kx+mx24+y2=1得，(1+4k2)x2+8kmx+4(m21)=0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=8km1+4k2，x1x2=4(m21)1+4k2（*）直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2，且4k=k1+k2，4k=y1x1+y2x2=kx1+mx1+kx2+mx2，得2kx1x2=m(x1+x2)，将（*）代入得：m2=12，经检验满足0考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】本题考查解析几何中的定值问题，采用“设而不求”方法求解，即设交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，把直线方程与椭圆方程联立方程组后消元得x的一元二次方程，从而得x1+x2,x1x2，然后计算k1+k2，把x1+x2,x1x2代入，由等式k=k1+k2求得m，如果能求出，说明定值存在，如果不能求出，说明定值不存在21.已知函数fx=alnx+1x+2x，且曲线y=fx在点M1,f1处的切线与直线y=2x平行.（1）求函数fx的单调区间；（2）若关于x的不等式fx2x+mx恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是0,12，单调递增区间是12,+；（2）-,1-1e.【解析】分析】（1）根据切线的斜率可求出a,得fx=lnx+1x+2x，求导后解不等式即可求出单调区间.（2）原不等式可化为mxlnx+1恒成立，令gx=xlnx+1，求导后可得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）函数fx的定义域为x|x0，fx=ax-1x2+2，又曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线y=2x平行所以f1=a-1+2=2，即a=1fx=lnx+1x+2x，fx=x+12x-1x2x0由fx0，得0x0得x12，即fx的单调递增区间是12,+.（2）由（1）知不等式fx2x+mx恒成立可化为lnx+1x+2x2x+mx恒成立即mxlnx+1恒成立令gx=xlnx+1gx=lnx+1当x0,1e时，gx0，gx在1e,+上单调递增.所以x=1e时，函数gx有最小值由mxlnx+1恒成立得m1-1e，即实数m的取值范围是-,1-1e.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sin2=4cos，过点P(2,-1)的直线的参数方程为：x=2+ty=-1-t（为参数），直线与曲线C分别交于M、N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）求线段MN的长和PMPN的积.【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为：y2=4x.直线的普通方程为x+y1=0.（2）8； 14【解析】【分析】（1）由sin2=4cos，也即(sin)2=4cos，即得曲线C的直角坐标方程为y2=4x.由x=2+ty=-1-t消去参数得直线的普通方程为x+y-1=0.（2）将直线的参数方程x=2+ty=-1-t代入y2=4x中得t2-2t-7=0，再利用直线参数方程t的几何意义求线段MN的长和PMPN的积.【详解】（1）由sin2=4cos，也即(sin)2=4cos，曲线C的直角坐标方程为：y2=4x.由x=2+ty=-1-t消去参数得直线的普通方程为x+y-1=