2015年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学参考答案及评分标准

数学（文科）试题 A 第 1 页 共 8 页 2015 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准数学（文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共 10 小题，每小题，满分 50 分 题号 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共 10 小题，每小题，满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案答案 D A C B C A D B B D 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共 5 小题，每小题，满分小题，每小题，满分 20 分其中分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题题是选做题，考生只能选做一题 题号题号 11 12 13 14 15 答案答案 2 3- 60 3 4 3 1 16 （本小题满分12分） 解： （解： （1）因为: :7:5:3a b c =， 所以可设7ak=，5bk=，3ck=()0k ，2 分 由余弦定理得， 222 cos 2 bca A bc +- = ()()() 222 537 2 53 kkk kk +- = 3分 1 2 = -4 分 （2）由（1）知， 1 cos 2 A = -， 因为A是ABC的内角，所以 2 3 sin1 cos 2 AA=-=6 分 由正弦定理2 sin a R A =， 7 分 得 3 2 sin2 1414 3 2 aRA= 8 分 由（1）设7ak=，即2 3k =， 所以510 3bk=，36 3ck=10 分 所以 1 sin 2 ABC SbcA D = 13 10 36 3 22 =11 分 45 3= 所以ABC的面积为45 312 分 数学（文科）试题 A 第 2 页 共 8 页 17 （本小题满分12分） 解： （1）解： （1）因为抽取总问卷为 100 份，所以()10040 102030n =-+=1 分 年龄在)40,50中，抽取份数为 10 份，答对全卷人数为 4 人，所以4 100.4b =2 分 年龄在50,60中，抽取份数为 20 份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以200.1a=，解得2a =3 分 根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c+ +=， 解得0.02c =4 分 （2）因为年龄在)40,50与50,60中答对全卷的人数分别为 4 人与 2 人 年龄在)40,50中答对全卷的 4 人记为 1 a， 2 a， 3 a， 4 a，年龄在50,60中答对全卷的 2 人记为 1 b， 2 b，则从这 6 人中随机抽取 2 人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：() 12 ,a a，() 13 ,a a，() 14 ,a a， () 11 ,a b，() 12 ,a b，() 23 ,a a，() 24 ,a a， () 21 ,a b，() 22 ,a b，() 34 ,a a，() 31 ,a b，() 32 ,a b，() 41 ,a b， () 42 ,a b， () 12 ,b b共 15 种8 分 其中所抽取年龄在50,60的人中至少有1人被授予 “环保之星” 的情况是：() 11 ,a b，() 12 ,a b，() 21 ,a b， () 22 ,a b，() 31 ,a b，() 32 ,a b，() 41 ,a b，() 42 ,a b，() 12 ,b b共 9 种.11 分 故所求的概率为 5 3 15 9 =. 12 分 18 （本小题满分14分） （1）证明：）证明：连接 1 AB， 在四边形 11 ABCD中， 11 ADBCP且 11 ADBC=， 所以四边形 11 ABCD是平行四边形 所以 11 ABDCP2分 在 1 ABA中，1AMAN=， 1 3AAAB=， 所以 1 AMAN AAAB =， C1 A B A1 B1 D1 C D M N 数学（文科）试题 A 第 3 页 共 8 页 所以 1 MNABP4分 所以 1 MNDCP 所以M，N，C， 1 D四点共面6分 （2）解法一：）解法一：记平面 1 MNCD将正方体分成两部分的下部分体积为 1 V，上部分体积为 2 V， 连接 1 D A， 1 D N，DN， 则几何体 1 DAMN-， 1 DADN-， 1 DCDN-均为三棱锥， 所以 111 1DAMNDADNDCDN VVVV - =+ 1111 111 333 AMNADNCDN SD ASD DSD D DDD =+ggg9分 111319 333 323232 = + + 13 2 =11分 从而 1 1 111 2 1341 27 22 ABCD A B C DAMNDD C VVV - =-=-=，13分 所以 1 2 13 41 V V = 所以平面 1 MNCD分此正方体的两部分体积的比为 13 41 14分 C1 A B A1 B1 D1 C D M N 解法二：解法二：记平面 1 MNCD将正方体分成两部分的下部分体积为 1 V，上部分体积为 2 V， 因为平面 11 ABB AP平面 11 DCC D，所以平面AMNP平面 1 DDC 延长CN与DA相交于点P， 因为ANDCP， 所以 ANPA DCPD =，即 1 33 PA PA = + ，解得 3 2 PA = 延长 1 D M与DA相交于点Q，同理可得 3 2 QA= 所以点P与点Q重合 所以 1 D M，DA，CN三线相交于一点 所以几何体 1 AMNDDC-是一个三棱台9分 数学（文科）试题 A 第 4 页 共 8 页 所以 1 1 1119913 3 322222 AMNDD C VV - =+ = ，11分 从而 1 1 111 2 1341 27 22 ABCD A B C DAMNDD C VVV - =-=-=，13分 所以 1 2 13 41 V V = 所以平面 1 MNCD分此正方体的两部分体积的比为 13 41 14分 19 （本小题满分14分） 解： （解： （1）因为() 111 ,P a b是直线l：31yx=+与y轴的交点()0,1， 所以 1 0a =， 1 1b =2分 因为数列 n a是公差为1的等差数列， 所以1 n an=-4分 因为点(), nnn P a b在直线l：31yx=+上， 所以31 nn ba=+32n=- 所以数列 n a， n b的通项公式分别为1 n an=-，32 n bn=- () * nN6分 （2）因为( ) 1, 32, nn f n nn - = - 为奇数 为偶数， ， 假设存在k * N，使()( )34f kf k+=成立7分 当k为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241kk+-=-， 解得11k =，符合题意10分 当k为偶数时，3k +为奇数， 则有()()314 32kk+- =-， 解得 10 11 k =，不合题意13分 综上可知，存在11k =符合条件14分 数学（文科）试题 A 第 5 页 共 8 页 20 （本小题满分 14 分） 解： （解： （1）函数( )f x的定义域为()0,+，1 分 因为( ) 2 lnf xxaxx=+， 所以( ) 1 21fxax x =+，2 分 依题意有( )10 f =，即1210a+ =，解得1a = -3 分 此时( ) ()() 2 12121xxxx fx xx -+-+ =， 所以当01x时，( )0fx， 此时函数( )f x在()0,+是增函数 9 分 （）当0a ， 此时( )fx ()() 2 12 221a xxxxaxx xx -+ =， 其中 1 11 8 4 a x a - = -， 2 11 8 4 a x a +- = - 因为0a ，又因为 12 1 0 2 x x a =，所以 1 0 x 11 分 所以当 2 0 xx时，( )0fx， 所以函数( )f x在() 2 0,x上是增函数，在() 2, x +上是减函数13 分 数学（文科）试题 A 第 6 页 共 8 页 综上可知，当0a 时，函数( )f x的单调递增区间是()0,+；当0a ，1 分 因为圆C过点()0,0和()1,1-， 所以 () 22 2 22 , 11. ar ar = - -+= 3 分 解得1a = -，1r = 所以圆C的方程为() 2 2 11xy+=4 分 方法二：方法二：设()0,0O，()1,1A -， 依题意得，圆C的圆心为线段OA的垂直平分线l与x轴的交点C1 分 因为直线l的方程为 11 22 yx-=+，即1yx=+，2 分 所以圆心C的坐标为()1,0-3 分 所以圆C的方程为() 2 2 11xy+=4 分 （2）方法一）方法一：设圆D上的动点P的坐标为() 00 ,xy， 则() 2 2 00 44xy-+=， 即() 2 2 00 440yx=-， 解得 0 26x5 分 由圆C与圆D的方程可知，过点P向圆C所作两条切线的斜率必存在， 设PA的方程为：() 010 yykxx-=-，PB的方程为：() 020 yykxx-=-， 则点A的坐标为() 010 0, yk x-，点B的坐标为() 020 0, yk x-， 所以 120 ABkk x=-， 数学（文科）试题 A 第 7 页 共 8 页 因为PA，PB是圆C的切线，所以 1 k， 2 k满足 00 2 1 1 kykx k - +- = + ， 即 1 k， 2 k是方程( )() 222 00000 22110 xxkyxky+-+- =的两根，7 分 即 () 00 12 2 00 2 0 12 2 00 21 , 2 1 . 2 yx kk xx y k k xx + += + - = + 所以 120 ABkk x=- ()() 2 2 0 00 0 22 0000 41 21 22 y yx x xxxx - + =- + 9 分 因为() 2 2 00 44yx=-， 所以 () 0 2 0 56 2 2 2 x AB x - = + 10 分 设() () 0 0 2 0 56 2 x f x x - = + ， 则() () 0 0 3 0 522 2 x fx x -+ = + 11 分 由 0 26x，可知() 0 f x在 22 2, 5 上是增函数，在 22 ,6 5 上是减函数，12 分 所以() 0 max 2225 564 fxf = ， ()( )( ) min 0 1 31 min2 ,6min, 4 84 f xff = ， 所以AB的取值范围为 5 2 2, 4 14 分 方法二方法二：设圆D上的动点P的坐标为() 00 ,xy， 则() 2 2 00 44xy-+=， 即() 2 2 00 440yx=-， 解得 0 26x5 分 设点()0,Aa，()0,Bb， 数学（文科）试题 A 第 8 页 共 8 页 则直线PA： 0 0 ya yax x - -=，即() 000 0ya xx yax-+=， 因为直线PA与圆C相切，所以 () 00 2 2 00 1 ayax yax -+ = -+ ， 化简得() 2 000 220 xay ax+-= 同理得() 2 000 220 xby bx+-=， 由知a，b为方程() 2 000 220 xxy xx+-=的两根，7 分 即 0 0 0 0 2 , 2 . 2 y ab x x ab x += + - = + 所以() 2 4ABababab=-=+- 2 00 00 24 22 yx xx =+ + () () 2 000 2 0 442 2 yxx x + = +