高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教A选修21

1设a，b，c是任意的非零向量，且它们互相不共线，则下列命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(ab)c(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的有()ABC D解析：选D.不正确，正确2若向量a、b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0且bc0是l的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当ab时，由ca0且cb0得不出l；反之，l一定有ca0且cb0.故选B.3已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab等于_解析：ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.答案：24如图所示， 在ABCD中，AD4，CD3，ADC60，PA平面ABCD，PA6，求线段PC的长解：.|2()2|2|2|22226242322|cos120611249.|7即PC7.一、选择题1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，则a(bc)的值为()A1 B0C1 D2解析：选B.a(bc)abac0.2在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135的是()A.与B.与C.与D.与解析：选B.，45；，180，135；，90；，180.3已知abc0，|a|2，|b|3，|c|4，则向量a与b之间的夹角a，b为()A30 B45C60 D以上都不对解析：选D.由已知abc0，得abc，则(ab)2|a|2|b|22ab|c|2，由此可得ab.从而cosa，b.故答案为D.4已知a、b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30 B45C60 D90解析：选C.，()201201，又|2，|1.cos，.a与b所成的角是60.5设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析：选B.如图所示，设a，b，c，(ab)(cb)acbcabb2b20.同理0，0.BCD的各内角均为锐角，即BCD为锐角三角形6(2011年太原模拟)设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析：选B.(2)()()()220，|.所以ABC是等腰三角形二、填空题7已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，则_.解析：由mn，得(ab)(ab)0，即a2b2(1)ab0.(3)242(1)34cos1350.解得.答案：8已知a，b，c两两夹角都是60，其模都是1，则|ab2c|_.解析：(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc1141225，|ab2c|.答案：9在空间四边形ABCD中，_.解析：如图，设b，c，d，则dc，db，cb，所以原式b(dc)d(cb)c(db)0.答案：0三、解答题10已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()；(3)|.解：(1)|cosAOB11cos60.(2)()()()()()(2)1211cos60211cos6011cos6012211cos601.(3)| .11如图，已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与所成角的余弦值解：设正方体的棱长为m，a，b，c，则|a|b|c|m.abbcca0.又ab，ca.(ab)acbca2aba2m2.又|m，|m.cos，与所成角的余弦值为.12如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为正方形ABCD和AA1B1B的中心(1)求证：AC1平面A1BD；(2)求与夹角的余弦值解：(1)证明：设a，b，c，则abc.ba，ac，且abacbc0，则有(abc)(ba)b2a2bcac|b|2|a|20.同理，0.，