高考数学 2014全套汇编：第12章 概率与统计

【数学数学】2013】2013 版版66 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第十二章第十二章 概率与统计概率与统计 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20132013 年高考题年高考题 一、选择题 1. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）某学校组织学生参 加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为,20,40 , 40,60 若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是60,80 ,8 20,100 . （ ） ABCD45505560 答案：B 第一、第二小组的频率分别是、，所以低于 60 分的频率是 0.3，设班级人数为，0.10.2m 则，。选 B. 15 0.3 m 50m 2. （2013 年高考湖南卷（理） ）某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣 与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采 用的抽样方法是（ ） A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法 答案：D 本题考查抽样方法的判断。由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层 抽样法，选 D. 3. （2013 年高考陕西卷（理） ）如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来 源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 （ ） 1 2 D A C B E F ABCD 1 4 1 2 2 2 4 答案：A 该地点信号的概率= 42 1 2 1 2 的面积矩形 的面积扇形的面积扇形 ABCD CBFADE 所以该地点无信号的概率是。选 A1 4 4. （2013 年高考四川卷（理） ）节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪 亮相互独立,若接通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内 4 秒为间隔 闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是（ ） ABCD 1 4 1 2 3 4 7 8 答案：C 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x，y，由题意可得 0x4，0y4， 它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒，则|xy|2，由几何概型可得所求概率为上述两平 面区域的面积之比， 由图可知所求的概率为：= 。 故选 C 5. （2013 年高考新课标 1（理） ）为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学 生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力 情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法 是（ ） A简单随机抽样B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 答案：C 我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女 生视力情况差异不大 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理 故选 C 6. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）以下茎叶图记录了 甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 甲组乙组 909 x 215 y 8 7424 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则, x y的值分别为（ ） A2,5B5,5C5,8D8,8 答案：C 【命题立意】本题考查样本估计中的数字特征，中位数，平均数以及茎叶图。因为甲的中 位数为 15，由茎叶图可知，即。乙组数据的平均数为5x ，解得，选 C. 1 10(58 14 1)16.8 5 y 8y 7. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）已知离散型随机 变量的分布列为 X X123 P 3 5 3 10 1 10 则的数学期望（ ） XEX ABCD 3 22 5 23 答案：A ,故选 A 331153 123 51010102 EX 8. （2013 年高考湖北卷（理） ）如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个 同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 ,则的均值为（ ）XX E X ABCD 126 125 6 5 168 125 7 5 答案：B 本题考查离散型随机变量的分布列。用分布列解决这个问题,根据题意易知 X=0,1,2,3.列表 如下 X0123 125 27 125 54 125 36 125 8 所以.故选 B. 5 6 125 150 125 8 3 125 36 2 125 54 1 125 27 0)(XE 二、填空题 9. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a,则时间“”发生的概率为_310a 答案： 2 3 产生 01 之间的均匀随机数 1 310 3 aa a 1 ( ,1) 3 a 1 1 2 3 13 p 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）从n个 正整数1,2,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为 1 14 ,则 n _. 答案：8 从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于 5 的情况有： （1，4） ， （2，3）共 2 种情况； 从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概 型概率计算公式得： 从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于 5 的概率为 p= 所以，即，解得 n=8 11. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）为了考察某校各班 参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的认为作 为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同,则样本数据中 的最大值为_. 答案：10 设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得abcde ，显然各个括号为7 5 abcde 22222 (7)(7)(7)(7)(7) 4 5 abcde 整数。设分别为，则7,7,7,7,7abcde, , , ,p q r s t( , , , ,)p q r s tZ 。设= 22222 0(1) 20(2) pqrst pqrst 2222 ( )()()()()f xxpxqxrxs =，由已知， 22222 42()()xpqrs xpqrs 22 4220 xtxt( )0f x 由判别式得，所以，所以。0:4t 3t 10e 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）在区间上随 3,3 机取一个数,使得成立的概率为_. x 121xx 答案： 1 3 设，则。由( )12f xxx 3, 31 ( )1221, 12 3,23 x f xxxxx x ，解得，即当时，。由几何概型公式得所求概率为21 1x 12x13x( )1f x 。 3 121 3( 3)63 13. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则 nmY Xmn7m9n 都取到奇数的概率为_.nm， 答案：. 20 63 可以取的值有：共个m1,2,3,4,5,6,77 可以取的值有：共个n1,2,3,4,5,6,7,8,99 所以总共有种可能7 963 符合题意的可以取共个m1,3,5,74 符合题意的可以取共个n1,3,5,7,95 所以总共有种可能符合题意4 520 所以符合题意的概率为。 20 63 三、解答题 14. （2013 年高考北京卷（理） ）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气 质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人 随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天. ()求此人到达当日空气重度污染的概率; ()设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; ()由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:设表示事件“此人于 3 月 日到达该市”( =1,2,13). i Aii 根据题意, ,且. 1 () 13 i P A () ij AAij (I)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则, 58 BAA 所以. 5858 2 ( )()()() 13 P BP AAP AP A (II)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3A6A7A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , 4 13 P(X=2)=P(A1A2A12A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 4 13 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , 5 13 所以 X 的分布列为: 012 544 131313 X P 故 X 的期望. 54412 012 13131313 EX (III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）某联欢晚会举 行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得 2 2 3 分;方案乙的中奖率为,中将可以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机 2 5 会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求,X Y 的概率;3X (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计 的得分的数学期望较大? 解:()由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记 2 3 2 5 “这 2 人的累计得分”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“”, 3X5X , 224 (5) 3515 P X 11 ( )1(5) 15 P AP X 这两人的累计得分的概率为. 3X 11 15 ()设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数 1 X 为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计 2 X 1 (2)EX 得分的数学期望为 2 (3)EX 由已知:, 1 2 (2, ) 3 XB 2 2 (2, ) 5 XB , 1 24 ()2 33 E X 2 24 ()2 55 E X , 11 8 (2)2 () 3 EXE X 22 12 (3)3 () 5 EXE X 12 (2)(3)EXEX 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 16. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）甲、乙、 丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在 下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立,第 局甲当 1 , 2 1 裁判. (I)求第局甲当裁判的概率;4 (II)表示前局中乙当裁判的次数,求的数学期望.X4X 17. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题 3 5 4 5 X 的个数,求的分布列和数学期望.X 18. （2013 年高考湖南卷（理） ）某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个 格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的 种植经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关 系如下表所示: X1234 Y51484542 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 解: () 由图知,三角形边界共有 12 个格点,内部共有 3 个格点. 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有 0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点,共 8 对 格点恰好“相近”. 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率 9 2 312 8 P ()三角形共有 15 个格点. 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4). 15 4 )51(YP所以 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 15 4 )48(YP所以 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,). 15 6 )45(YP所以 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1). 15 3 )42(YP所以 如下表所示: 46 15 690 15 126270192102 15 3 42 15 6 45 15 4 48 15 2 51)( YE . 46)(YE 19. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）设袋子中装有 个红球,个黄球,个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出abc 蓝球得 3 分. (1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记1, 2, 3cba 随机变量为取出此 2 球所得分数之和,.求分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量为取出此球所得分 数.若,求 9 5 , 3 5 DE.:cba X1234 Y51484542 频数 2463 概率 P 15 2 15 4 15 6 15 3 解:()由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时,此时;当2 3 31 (2) 664 P 两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时,此时4 ;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时,此 223 11 35 (4) 66666618 P 3 时;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时,此时 32231 (3) 66663 P 5 ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时,此时 1 22 11 (5) 66669 P 6 ;所以的分布列是: 1 11 (6) 6636 P 23456 P1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 ()由已知得到:有三种取值即 1,2,3,所以的分布列是: 123 Pa abc b abc c abc 所以:,所 222 523 3 555253 (1)(2)(3) 9333 abc E abcabcabc abc D abcabcabc 以. 2 ,3:3:2:1bc aca b c 20. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）经销商 经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每 1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所 示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X(单位:t,150100 X)表 示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品 的利润. ()将T表示为X的函数; ()根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率; ()在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若100,110)X ,则取105X ,且 105X 的概率等于需求量落入100,110)的概率),求利润T的数学期望. /频率组距 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 100 110 120 130 140 150 需求量/x t 21. （2013 年高考江西卷（理） ）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队. 游戏规则为:以 O 为起点,再从(如图)这 8 个点中任取两点 12345678 ,A A A A A A A A 分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,X0X 否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求的分布列和数学期望.X 解:(1)从 8 个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角 2 8 28C 0 为直角共有 8 种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为. 82 (0) 287 P (2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有 8 种情2, 1,0,1,21 形;时,有 10 种情形.所以的分布列为:1 2101 P 1 14 5 14 2 7 2 7 . 15223 ( 2)+( 1)01 14147714 E 22. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）甲、乙两支排球队 进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立. 1 2 2 3 ()分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率; ()若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利 方得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分的分布列及数学期望. X 解:()记“甲队以 3:0 胜利”为事件,“甲队以 3:1 胜利”为事件,“甲队以 1 A 2 A 3:2 胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立, 3 A 故, 3 1 28 ()( ) 327 P A , 22 23 2228 ()( ) (1) 33327 P AC 122 34 2214 ()( ) (1) 33227 P AC 所以,甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率分别是,; 8 27 8 27 4 27 ()设“乙队以 3:2 胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 4 A 122 44 2214 ()(1) ( )(1) 33227 P AC 由题意,随机变量的所有可能的取值为 0,1,2,3,根据事件的互斥性得 X , 1212 (0)()()()P XP AAP AP A 16 27 , 3 4 (1)() 27 P XP A , 4 4 (2)() 27 P XP A (3)P X 1(0)P X (1)P X(2)P X 3 27 故的分布列为 X X0123 P16 27 4 27 4 27 3 27 所以 16443 0123 27272727 EX 7 9 23. （2013 年高考湖北卷（理） ）假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布X 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为. 2 800,50N 0 p (I)求的值;(参考数据:若,有, 0 p 2 ,XN :0.6826PX ,.)220.9544PX330.9974PX (II)某客运公司用.两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天AB 往返一次,.两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分AB 别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 型车不多于型车 7 辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且BA 0 p 使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车.型车各多少辆?AB 解:(I) 0 1 0.50.95440.9772 2 p (II)设配备型车辆,型车辆,运营成本为元,由已知条件得 AxByz ,而 21 3660900 7 , xy xy yx x yN 16002400zxy 作出可行域,得到最优解. 5,12xy 所以配备型车 5 辆,型车 12 辆可使运营成本最小. AB 24. （2013 年高考新课标 1（理） ）一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品 中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作 检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否 为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量 检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中全为优 质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C,第二次取出的 1 件产品是优 质品为事件 D,这批产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB)(CD),且 AB 与 CD 互斥, P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= 324 4 111 ( )( ) 222 C+ 4 11 ( ) 22 = 3 64 ()X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- 334 4 111 ( )( ) 222 C= 11 16 ,P(X=500)= 1 16 ,P(X=800)= 33 4 11 ( ) 22 C= 1 4 , X 的分布列为 X400500800 P11 16 1 16 1 4 EX=400 11 16 +500 1 16 +800 1 4 =506.25 25. （2013 年高考四川卷（理） ）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在x 这个整数中等可能随机产生.1,2,3,2424 ()分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为 的概率;yi(1,2,3) i P i ()甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记n 录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.y(1,2,3)i i 甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分) 当时,根据表中的数据,分2100n 别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合y(1,2,3)i i 算法要求的可能性较大; ()按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出的值为 2 的次数的分布列及数学y 期望. 解:.变量 x 是在 1,2,3,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 ; 1 1 2 p 运行 次数 n 输出 的值y 为 的1 频数 输出的值y 为的频数2 输出的值y 为的频数3 3014610 21001027376697 运行 次数n 输出的值y 为 的频数1 输出的值y 为的频数2 输出的值y 为的频数3 3012117 21001051696353 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故; 2 1 3 p 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 3 1 6 p 当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下: 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 (3)随机变量可能饿取值为 0,1,2,3. 03 0 3 128 (0) 3327 pC 12 1 3 124 (1) 339 pC 21 2 3 122 (2) 339 pC 30 3 3 121 (3) 3327 pC 故的分布列为 所以 8421 01231 279927 E 即的数学期望为 1 26. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）某高校数学系 计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责, 已知该系共有位学生,每次活动均需该系位学生参加(和都是固定的正整数).nknk 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生,且所k 发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x 输出的y 值 为 的频率1 输出的值 y 为的频率2 输出的值 y 为的频率3 甲 1027 2100 376 2100 697 2100 乙 1051 2100 696 2100 353 2100 0123 p 8 27 4 9 2 9 1 27 ()求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; ()求使取得最大值的整数.()P Xmm 解: () . n k AP n k APA-1)()(，师的通知信息，则表示：学生甲收到李老设事件 . )()(),()(APBPAPBPB师的通知信息，则表示：学生甲收到张老设事件 . 师或张老师的通知信息表示：学生甲收到李老设事件C 则. 22 )( 2 )1 (1)BP()AP(-1=P(C) n k n k n k 所以,. 2 )( 2 n k n k 老师的通知信息为学生甲收到李老师或张 20122012 年高考题年高考题 27. （2012 辽宁理）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C现作一矩形,领边长分别等于 线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2的概率为（ ） A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 4 5 【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为xcm,则线段 CB 的长为(12x)cm,那么矩形的面积为 (12)xxcm2, 由(12)32xx,解得48xx或.又012x,所以该矩形面积小于 32cm2的概率为 2 3 , 故选 C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的 能力,属于中档题. 28. （2012 湖北理）如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分 的概率是（ ） A 2 1 B 11 2 C 2 D 1 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法. 解析:令1OA,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 1 S,围成 OC 为 2 S,作对称轴 OD,则过 C 点. 2 S即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积, 8 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 S.在扇形 OAD 中 2 1 S 为扇 形面积减去三角形 OAC 面积和 2 2 S , 16 2 28 1 1 8 1 2 2 2 1 SS , 4 2 21 SS,扇形 OAB 面积 4 1 S,选 A. 29. （2012 广东理）(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是（ ） ABCD 4 9 1 3 2 9 1 9 解析:D.两位数共有 90 个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个,个位数为 0 的有 5 个,所以概率为. 51 459 30. （2012 北京理）设不等式组表示的平面区域为 D在区域 D 内随机取一 02 02 x y 个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ） ABCD 4 2 2 6 4 4 【答案】D 【解析】题目中表示的区域表示正方形区域,而动点可以存在的位置为正方形 02 02 x y D 面积减去四分之一的圆的面积部分,因此,故选 D 2 1 2 22 4 4 2 24 p 【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、 概率. 31. （2012 上海理）设,. 随机变量取值、 4 4321 1010xxxx 5 5 10x 1 1 x 2 x 、的概率均为 0.2,随机变量取值、的 3 x 4 x 5 x 2 2 21 xx 2 32 xx 2 43 xx 2 54 xx 2 15 xx 概率也为 0.2. 若记、分别为、的方差,则（ ） 1 D 2 D 1 2 A.B=.C而迅即攻下此题. 1 D 2 D 32. （2012 上海理）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个 项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示). 解析 设概率 p=,则,求 k,分三步:选二人,让他们选择的项目相同,有 n k 27 2 3 2 3 2 3 CCCn 种;确定上述二人所选择的相同的项目,有种;确定另一人所选的项目,有种. 2 3 C 1 3 C 1 2 C 所以,故 p=. 18 1 2 1 3 2 3 CCCk 3 2 27 18 33. （2012 上海春）某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工244 作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为_(结果用数值表示). 14 15 34. （2012 江苏）现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,为公比的等比数列,若从这3 10 个数中随机抽取一个数,则它小于8 的概率是_. 【答案】. 3 5 【考点】等比数列,概率. 【解析】以 1 为首项,为公比的等比数列的10 个数为 1,-3,9,-27,其中有 5 个负数,1 个3 正数 1 计 6 个数小于8, 从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是. 63 = 105 35. （2012 新课标理）某个部件由三个元件按下图方式 连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工 作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小 时)均服从正态分布,且各个元件能否 2 (1000,50 )N 正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_ 【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为 3 8 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 (1000,50 )N 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2 1 3 1 (1) 4 Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp 元件1 元件2 元件3 元件1 元件2 元件3 36. （2012 天津理）现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选 择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出 点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.()求这 4 个人中 恰有 2 人去参加甲游戏的概率: ()求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游 戏的人数的概率: ()用分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,X Y ,求随机变量的分布列与数学期望.=|XYE 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散 型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能 力. 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这 4 个 1 3 2 3 人中恰有 人去参加甲游戏”为事件,则. i(0,1,2,3,4) i A i 4 4 12 ()( ) ( ) 33 iii i P AC (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为. 222 24 128 ()( ) ( ) 3327 P AC (2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由B 34 BAA 于与互斥,故 3 A 4 A 3344 3444 1211 ( )()()( ) ( )( ) 3339 P BP AP ACC 所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. 1 9 (3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故 0,2,4 1 A 3 A 0 A 4 A 21304 84017 (0)(), (2)()(), (4)()() 278181 PP APP AP APP AP A 所以的分布列为 024 p 8 27 40 81 17 81 随机变量的数学期望. 84017148 024 27818181 E 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对 于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转 化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础, 转化是关键. 37. （2012 新课标理）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝5 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进枝1016 玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式. (2)ynnN 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以 100 天记录的各需求量的 频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求的分布列,16XX 数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 【解析】(1)当时, 16n 16 (105)80y 当时, 15n 55(16)1080ynnn 得: 1080(15) () 80(16) nn ynN n (2)(i)可取, X60 7080 (60)0.1, (70)0.2, (80)0.7P XP XP X 的分布列为X X607080 P0.10.20.7 60 0.1 70 0.280 0.776EX 222 160.1 60.240.744DX (ii)购进 17 枝时,当天的利润为 (14 53 5) 0.1 (15 52 5) 0.2(16 5 1 5) 0.16 17 5 0.5476.4y 得:应购进 17 枝 76.476 38. （2012 浙江理）已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出 一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和.()求 X 的分布列;()求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. () X 的可能取值有:3,4,5,6. ; ; 3 5 3 9 5 (3) 42 C P X C 21 54 3 9 20 (4) 42 C C P X C ; . 12 54 3 9 15 (5) 42 C C P X C 3 4 3 9 2 (6) 42 C P X C 故,所求 X 的分布列为 X3456 P 5 42 2010 4221 155 4214 21 4221 () 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)=. 6 4 13 () 3 i i P Xi 【答案】()见解析;() . 13 3 39. （2012 重庆理）(本小题满分 13 分,()小问 5 分,()小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人 都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各 1 3 1 2 次投篮互不影响.() 求甲获胜的概率;() 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率 知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互 独立事件同时发生的概率公式. 解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则 , kk A Bk , 1 3 k P A 1 2 k P B1,2,3k (1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算 公式知, 111211223 P CP AP A B AP A B A B A 111211223 P AP A P B P AP A P B P AP BP A 22 1211211 3323323 11113 392727 (2)的所有可能为: 1,2,3 由独立性知: 111 1212 1 3323 PP AP AB 22 1121122 211212 2 323329 PP A B AP A B A B 22 1122 211 3 329 PP A B A B 综上知,有分布列 123 P2 3 2 9 1 9 从而,(次) 22113 123 3999 E 40. （2012 四川理）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统AB 和在任意时刻发生故障的概率分别为和.()若在任意时刻至少有一个系统AB 1 10 p 不发生故障的概率为,求的值;()设系统在 3 次相互独立的检测中不发生故障 49 50 pA 的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.E 解析(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P(C