三角函数、平面向量集

三角函数、平面向量专题试题集1. 函数的最小正周期为（ A ）ABC8D42. 已知函数的图象的一条对称轴方程为直线x=1，若将函数的图象向右平移b个单位后得到y=sinx的图象，则满足条件的b的值一定为（ C ）ABCD3. 在ABC，为角A、B、C所对的三条边. （1）求时，t的取值范围； （2）化简（用（1）中t表示）.（1），ABC为直角三角形，A+B= 2分又 4分 ， 6分（2） 9分 12分4. 已知向量a和b的夹角为60，| a | = 3，| b | = 4，则(2a b)a等于 （ B ） （A）15（B）12（C）6（D）35. 已知 （）求cos的值； （）求满足sin( x ) sin (+ x) + 2cos=的锐角x解：（）因为，所以 （2分） 所以=，（4分） 由，所以（6分） （）因为sin() sin() + 2cos， 所以，（8分） 所以sinx =，（10分） 因为x为锐角，所以（12分）6. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ B ）ABCD7. 若是纯虚数，则的值为（ B ）ABCD8. 已知向量上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是（ B ）A16B8C0D49. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（ D ）A1BCD10. 为锐角，为钝角，=.11. 已知|a|=1，|b|=， （1）若a/b，求ab； （2）若a，b的夹角为135，求|a+b|.解（1），若，同向，则3分若，异向，则3分（2）的夹角为135，2分2分2分12. 已知函数（1）将的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （2）如果ABC的三边a、b、c成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.解：（1）3分由即对称中心的横坐标为3分（2）由已知.3分的值域为2分综上所述，1分13. 设平面上的动向量a=（s，t），b=（1，t2k）其中s，t为不同时为0的两个实数，实数，满足ab，（1）求函数关系式（2）若函数上是单调增函数，求证：； （3）对上述，存在正项数列，其中通项公式并证明.（1）解：3分 （2）证明：成立，2分 故；1分 （3） 故 因为4分 事实上， 4分方法1：方法2：14. 如果函数的最小正周期是T，且当时取得最大值，那么（ A ）A B C D15. 在中，已知，那么一定是（ B ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形16. 已知，那么的值为，的值为。17. 若| ， 且（） ，则与的夹角是 （ B ）（A） （B） （C） （D）18. 把y = sinx的图象向左平移个单位，得到函数y = sin的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的图象。19. 已知直线：x 2y + 3 = 0 ，那么直线的方向向量为（2，1）或等(注：只需写出一个正确答案即可)；过点（1，1），并且的方向向量2与1满足1= 0，则的方程为2x + y 3 = 0。20. 已知：tan= 2，求： （）tan的值； （）sin2的值解：（）= 2，tan （5分） （）解法一： sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2 sin2 = 2sincos+ cos2（8分） = （11分） = （13分） （）解法二： sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2 sin2 = 2sincos+ cos2 （1）（8分） tan=，为第一象限或第三象限角 当为第一象限角时，sin=，cos=，代入（1）得 2sincos+ cos2=；（10分） 当为第三象限角时，sin=，cos=，代入（1）得 2sincos+ cos2= （12分） 综上所述：sin2+ sin2+ cos2= （13分）21. 已知常数a 0，向量，经过定点A (0， a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0，a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P，其中R （）求点P的轨迹C的方程； （）若，过E (0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围解：（）设P点的坐标为(x，y)，则， 又，故， 由题知向量与向量平行，故(y + a) = ax 又向量与向量平行，故y a = 2 两方程联立消去参数，得点P (x，y)的轨迹方程是 (y + a)(y a) = 2a2x2，即y2 a2 = 2a2x2 （6分） （），故点P的轨迹方程为2y2 2x2 = 1， 此时点E (0，1)为双曲线的焦点 若直线l的斜率不存在，其方程为x = 0，l与双曲线交于、，此时 （8分） 若直线l的斜率存在，设其方程为y = kx + 1，代入2y2 2x2 = 1化简得 2(k2 1) x2 + 4kx + 1 = 0直线l与双曲线交于两点，= (4k)2 8 (k2 1) 0且k2 10解得k1设两交点为M (x1，y1)、N (x2，y2)，则x1 + x2 =，x1x2 = （10分）此时= x1x2 + k2x1x2 = (k2 + 1) x1x2 =当 1 k 1时，k2 1 1或k 0，故综上所述，的取值范围是 （13分）22. 23.24.25.26.27.28.29.30.31.32. 已知向量(8， x)，(x，1)，其中x0，若(2)(2)，则x的值为A.4B.8C.0D.2解：2(82x，x2)，2(16x，x1)由(2)(2)，得(82x，x2)(16x，x1)即 x4.选A33. 同时具有以下性质：“最小正周期实；图象关于直线x对称；在上是增函数”的一个函数是A.ysin()B.ycos(2x)C.ysin(2x)D.ycos(2x)解：由性质排除A，由性质排除D，由性质排除B，选C.34. 在ABC中，已知sin2Asin2B，tanAtanB3，求角C.解：sin2Asin2B，sinAsinBcosAcosB 3 由A、B(0，)，知sinAsinB0，cosAcosB0 又tanAtanB3，即3 6由得：cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB而C(0，)，C.yP xBAC035. 如图，已知点P(3，0)，点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且0，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；(2)已知向量(1，0)，(0，1)，过点Q(1，0)且以向量k(kR)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D(1，0)，且0，求k的取值范围.解：(1)设A(a，0)(a0)，B(0，b)，C(x，y)则(xa，y)，(a，b)，(3，b)，0， 3消去a、b得：y24xa0，x3a0故曲线E的方程为y24x(x0) 5(2)设R(x，y)为直线l上一点，由条件知)即(x1，y)(1，k)，消去得l的方程为：yk(x1) 7由k2x22(k22)xk20 (*)直线l交曲线E与不同的两点M、N0 1k1 9设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x11，y1)，(x21，y2)M、N在直线yk(x1)上，y1k(x11)，y2k(x21)又由(*)，有x1x2，x1x22(x11)(x21)y1y2 (x11)(x21)k2(x11)(x21) (k21)x1x2(1k2)(x1x2)k21 由条件知：0 k2 12由知：1k或k1. 1336. 设集合，集合，则（ A ）A中有3个元素 B中有1个元素C中有2个元素 D37. 在中，“是“”的（ C ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件38. 函数在下面哪个区间内