第三章-非惯性参考系-习题解答

第三章_非惯性参考系_习题解答_By XuJie3.1、一船蓬高，在雨中航行时，它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后的甲板；但当停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前处。如果雨点的速率是8。求船航行的速率解：由题意设雨的绝对速度为，雨的相对速度为，船航行的速度为，数据如图所示。则有在速度三角形中，正弦定理：由图中数据知：，已知雨的绝对速率代入前面数据可得：3.2、河的宽度为，水的流速与离开河岸的距离成正比。岸边水的流速为0，河中心处水的流速为，河中一小船内的人，以相对于水流恒定的速率，垂直于水流向岸边划去。求小船的航行轨迹和抵达对岸的地点。解：建立如图坐标系，取小船的出发点为。轴垂直于河岸，轴平行于河岸因河流中心水流速度为，水的流速与离开河岸的距离成正比所以水流速度为：河的左侧()水流速率为：河的右侧()水流速率为：由速度变换关系知：小船位于河岸的左侧内()：积分有解得 ，()小船位于河岸的右侧内()：积分有解得，()所以小船的航行轨迹为： ，()，()若小船位于河岸的左侧内()，当抵达河的中心时有：那么若小船位于河的中心()，当抵达河岸时，那么所以小船位于河岸的左侧内()，当抵达河岸时，若小船位于河岸的右侧内()，当抵达河岸时，那么若小船从河岸的左侧出发，那么3.3、一圆盘以匀角速度绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点沿圆盘上的弦，以恒定的相对速度运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为。求在以地面为参考系时，质点的速度和加速度(表示成质点离弦中点的距离的函数)。解：在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角坐标系，地面为惯性系。则：或利用可直接求出。3.4、一飞机在赤道上空以速率水平飞行，考虑到地球的自转效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系，不随地球转动的坐标系)的速率：(i)向北飞行(ii)向西飞行(iii)向东飞行。已知地球半径为解：建立如图所示的直角坐标系，使飞机位于轴上。则飞机位于赤道上空以速率水平飞行，则(i)向北飞行，那么 所以(ii)向西飞行，那么(iii)向东飞行，那么3.5、一契子，顶角为，以匀加速度沿水平方向加速运动。质量为的质点沿楔子的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度及质点对楔子斜面的压力解：建立如图所示的直角坐标系附着在楔子上。在中的受力分析如图所示。则有： (1) (2)由(1)式可求得：所以质点对楔子斜面的压力由(2)式可求得：3.6、一缆车，以大小为，与地平线成角的匀加速度上升，缆车中一物体自离缆车地板高度处自由下落。求此物体落至地板处的位置。解：建立如图所示的直角坐标系附着在缆车上取物体开始落的位置为原点。质点运动的平面为受力分析如图示。设质点自由下落到地板的时间为，则有：方向：方向：联立求得，即物体落到初始位置在地板的投影点后面处。3.7、一单摆摆长为，悬挂点在水平线上作简谐振动：。这里是悬挂点离开水平线上的固定点的距离，如图，开始时摆锤铅直下垂，相对于的速度为零。证明单摆此后的微小振动规律为，式中解：以点为极点，竖直向下为极轴，受力分析如图所示。因，所以，当角度很小时，有，由牛顿第二定律，在横向有：代入，可得：易知的通解为：，式中，为积分待定常数设的特解为的虚部，代入有：，解得：，故特解为所以的通解为：代入初始条件，时，可得：，所以有：3.8、一竖直放置的钢丝圆圈，半径为，其上套有一质量为的光滑小环。今若钢丝圈以匀加速度竖直向上运动，求小环相对于钢丝圈的速率和钢丝圈对小环的作用力大小已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角，小环的相对速率解：以点为极点，竖直向下为极轴，建立平面极坐标系。受力分析如图，则有：径向： (1)横向： (2)初始条件：时， (3)对(2)变形：分离变量：，代入(3)有：所以(负根舍去)代入(1)有3.9、一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度绕固定的圆盘中心转动。有一质量为的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率向圆盘的边缘走动。试分别利用：(a)地面惯性系(b)圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力。解：受力分析如图示，左图为地面惯性系中人受力情况，右图为圆盘非惯性系中人受力情况地面惯性系中建立极坐标系，取圆心为原点，初始时刻人走的半径为极轴，方向那么相对速度：，相对位移为：，角速度为： (a)地面惯性系中，由受力图示分析可知：圆盘对人的作用力为：由牛顿第二定律知：，即所以圆盘对人的作用力为：由于都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟有关。(b)圆盘非惯性系中，受力分析如图所示，人匀速行走。所以有：，即即所以圆盘对人的作用力为：由于都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟有关。3.10、 半径为竖直放置的光滑圆环，绕通过其圆心的铅直轴以恒定的角速度转动。在此圆环上套有一质量为的小环，自处相对于圆环无初速地沿环下滑。问小环的位置为何值时，它的滑动将开始反向？这里是圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角。解：以圆环为参考系。受力分析如图所示。小环受到重力，大圆环的支持力，科里奥利力和惯性离心力。在整个运动过程中只有重力和惯性离心力做功。对小环由动能定理有：即开始反向时，即解得：显然取，即时，小环开始反向运动。3.11、一内壁光滑的管子，在水平面内绕通过其端点的的铅直轴，以恒定的角速度转动。管内有一质量为的质点，用一自然长度为，劲度系数为的弹簧和管子的端点相连，设初始时质点到的距离为且。求质点在管中的运动方程及它对管壁的压力解：取点为原点，建立附着在管子上的直角坐标系。质点受到重力，管壁的压力，弹簧的张力，科里奥利力和惯性离心力若假定质点偏离平衡位置向轴正向移动，受力分析如图示，由牛顿第二定律知：即化简：的通解为：，为积分待定常数。设的特解为，其中为常数代入可得：所以的通解为：代入初始条件，时，可得：，所以有，因弹簧振子的圆频率，所以上式又可写成：3.12、质量为的小环套在半径为的光滑圆圈上，若圆圈在水平面内以匀角速度绕其圆周上的一点转动。试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程(以小环相对于圆圈绕圆心转过的角度为参量写出)。设圆圈对小环的作用力大小用表示，并可略去小环的重力。解：由于略去了小环的重力，所以在选取圆圈为参考系中，小环的受力如图所示，小环受到圆圈的作用力，科里奥利力小环相对点的惯性离心力相对点有向心加速度，小环的惯性力：那么小环的运动学方程为：切向：，即法向，即事实上，也可通过，求得。3.13、一质量为的质点，位于光滑的水平平台上，此平台以匀角速度绕通过平台上一定点的铅直轴转动。若质点受到点的吸引力作用，这里是质点相对于点的径矢。试证明：质点在任何起始条件下，将绕点以角速度作圆周轨道运动。证明：水平台以匀角速度绕通过平台上一定点的铅直轴转动。取水平平台为参考系。水平平台光滑，质点受到重力、平台的支持力和点的吸引力以及惯性离心力。质点在竖直方向上没有离开水平平台，有：，在水平方向所以质点相对水平平台静止，故小球绕点以角速度作圆周轨道运动。或者利用证明。3.14、一抛物线形金属丝竖直放置，顶点向下，以匀角速率绕竖直轴转动。一质量为的光滑小环套在金属丝上。写出小环在金属丝上滑动时的运动微分方程。已知金属丝构成的抛物线方程为，这里为常数。解：如图，取顶点为原点，建立直角坐标系附着在多属丝上。在中，小环受到重力，科里奥利力，惯性离心力，金属丝的作用力由牛顿第二定律可得：方向：，即 (1)方向：，即 (2)方向：，即 (3)又金属丝构成的抛物线方程为，求一阶导化简得： (4)二阶导为：联立(1)、(2)、(4)可求得：化简求得小环在金属丝上滑动时的运动微分方程：3.15、在北纬处，一质点以初速率竖直上抛，到达高度时又落回地面。考虑地球的自转效应，不计空气的阻力，求质点落地位置与上抛点之间的距离；是偏东还是偏西？为什么解：取抛点为原点，建立直角坐标系附着在地面上。其中轴指向正南，轴指向正东，轴竖直向上。质点只受到重力，故质点的运动学方程为： (1) (2) (3)质点初始时刻的运动状态为：时，对(1)、(2)、(3)积分并代入初始条件得： (4) (5) (6)因，忽略项。把(5)式代入(1)、(3)式可得：，质点落地时，对于竖直上抛后落地时间为又，所以落地时间为把(4)、(6)式代入(2)式可得：，即积分两次并代入初始条件得：把时间代入可得：，偏西3.16、在北纬的地方，以仰角向东方发射一炮弹的出口速率为，考虑地球的自转效应，证明炮弹落地点的横向偏离为解：取发射点为原点，建