与圆锥曲线有关的问题张良兵

与圆锥曲线有关的问题 温州中学 张良兵 与圆锥曲线有关的问题 【内容地位】圆锥曲线是高考的重中之重，高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容。涉及的数学思想方法主要有数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、整体思想，以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法。以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点。【设计意图】 04年对圆锥曲线的考查，主要是对基本知识和基本概念的考查，没有偏题、怪题、注重通性通法，淡化特殊技巧，因此我设计此课主要通过问题带动学生对基础知识的理解深化，让学生在已有知识经验的基础上，主动研究，发现规律，形成能力。对课堂问题不是讲解，而是和学生一起研究、解决。【基础知识梳理】 问题1.方程表示什么曲线？ 问题2.双曲线的焦点是_和_。（注意和常规下的双曲线比较同时复习常规下的圆锥曲线方程的形式） 问题3.曲线为什么表示双曲线？（引导学生回忆圆锥曲线的定义） 和学生一起探究曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常数。 双曲线的两个焦点为F1(-,-)、F2(,)，设P是双曲线上任一点， （去绝对值时注意分和两种情况） 问题4.你能用其它方法说明它是双曲线吗？ 和学生一起尝试用双曲线的第二定义来探究。（同时引导学生复习相关的几何性质） 问题5.问过双曲线的某个焦点且弦长为的弦长有几条？ 思考时可以将问题转化为求过双曲线右焦点弦长为的弦长有几条？设直线与双曲线的交点为A、B。当斜率存在时，设过右焦点的直线方程为，将其与双曲线联立，得则。由弦长公式得 k=0(直观可看出)当斜率不存在时，将代入得，。（过焦点的弦长问题可用第二定义，比弦长公式运算量小，也可由此推出通径长是交同一支中最短的弦长，讲解此问题时可以适当复习直线与圆锥曲线的关系）【例题讲解】 例题1.(2004北京东城)已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线。 求椭圆C的方程； 若点P为椭圆上C的点，PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；(此问在原题基础上添加的) 若点P为椭圆C上的一个动点，当F1PF2为钝角时求点P的取值范围。 (此问也可改成求F1PF2的最大值)设计意图主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用。学生可能出现的问题：学生能够知道抛物线的开口方向，在定位顶点和准线时易出错，所以在和学生一起解决问题时，在有些易出错的地方故意出错，来加深学生对问题的理解。解：抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为, 设椭圆的方程为,则有c=4，又， 椭圆的方程为设椭圆内切圆的圆心为Q，则 设点P到x轴的距离为h，则 。设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得： 由F1PF2为钝角知： 即为所求。（此题也可以用向量的方法解决，也可将椭圆的方程与圆的方程联立消去得，让学生来体会点P的横坐标的取值范围为什么是？）例题2.（04湖北高考与全国高考改编）设双曲线C的方程为 若双曲线与直线的右支交于不同的两点A、B，求双曲线离心率e的取值范围； 设点Q在双曲线C上第一象限上运动，试求点P的轨迹方程E； 将中轨迹方程E的表达式，写成的形式，求其单调区间。设计意图通过本例引导学生运用方程思想、函数思想等数学方法，培养学生分析、解决问题的能力。学生可能出现的问题：基础知识梳理后让学生解决问题应该很容易，他们可能在解决时不能理解求P点轨迹方程的实质，求点P的轨迹实质上是求点P的横纵坐标满足的关系式，因此设出点P的坐标后，找出它和Q的关系，利用代入的方法就很容易解决了。解：由双曲线与直线有两个不同的交点知： 方程组有两组不同的解，消去y整理得： 解为一正一负， 双曲线的离心率 。设 代入双曲线方程得： 即所求轨迹方程为。 由得 由得函数的定义域为， 在上单调递增。例3.已知双曲线的中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴,离心率为,且双曲线上动点P到点(2,0)的最近距离为1. 证明:满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；求此双曲线的方程；设此双曲线的左右焦点分别是F1、F2，Q是双曲线右支上的动点，过F1作F1QF2的平分线的垂线，求垂足M的轨迹。设计意图通过此问题培养学生逻辑推理能力及掌握数学基本方法如配方法等方法。学生可能出现的问题：逻辑推理是学生的弱项，相当多的学生在解决推理问题时说理不清，因果关系不明显，以至于失分较多。对问题学生能够求出轨迹方程，但不会考虑轨迹的限制条件，不能准确求出x的范围。解：用反证法，设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得。若双曲线焦点在y轴上，法1：则其双曲线方程为，求出(用表示)，然后利用的最小值为1，推出矛盾。法2：焦点在在y轴上的双曲线的渐近线为，A到渐近线的距离，不可能。设双曲线的方程为：，则P到A的距离为： 若，即当时，不可能。 若，即当时，有最小值，解得（舍去）或，所以所求双曲线为：。 设M，延长QF2与F1M交于点T，连接OM。 点Q是双曲线右支上的动点， M在以O为圆心，为半径的圆上。 圆的方程为(注意讲清的范围)。在几何画板上，拖动Q时，当拖到无穷远处，QM趋近于双曲线的渐近线，向左点M的极限位置（不可能达到的位置）是渐近线与过F1且垂直的直线的交点，联立和得。所以可得的范围。例4.(解密高考P164)椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=，过点C(-1，0)的直线交椭圆于A，B两点，且满足（1） 若为常数，试用直线的斜率k（k0）表示三角形OAB的面积。（2） 若为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程。（3） 若变化，且=k2+1，试问：实数和直线的斜率k（kR），分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求此时的椭圆方程。设计意图此题在向量的背景下把方程、不等式、函数联系在一起，能够把前后知识联系起来，能够提高学生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力。学生可能出现的问题：问题综合性强、运算要求高，学生在解决问题时不可能一蹴而就。问题是一个双参数问题，学生理不清思路，建立不起来函数关系。解：设椭圆方程为：，由及，得，故椭圆方程为： 直线交椭圆于A，B两点，由得即把代入椭圆方程得： 由知道 当且仅当时，即时，S取得最大值。将代入中得，故所求为由联立得将代入得当时，是的减函数，故当=2时 故椭圆方程为。【思维能力训练】 1.(04辽宁高考)已知点A(-2,0)、B（3,0），动点P满足，则P点的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.已知椭圆的弦AB的中点坐标为(1,1),则弦AB的斜率为( ) A.2 B. C.-2 D. 3.设F是抛物线的焦点,P是抛物线上一点,FP的延长线交y轴于Q,若P恰好是FQ的中点,则=( ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中,若方程表示的曲线为椭圆,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.我国发射的“神州”五号载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球的半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ） A.2 B. C.mn D.2mn 6.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（ ） A.在x轴上 B.在y轴上 C.当时在x轴上 D.当时在y轴上 7.已知抛物线的准线方程为，那么抛物线的焦点坐标为_。 8.过双曲线的右焦点的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P点，显然，规定：，则有的定值为，类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为_。 9.已知曲线，直线过A（a，0）、B（0，b）两点，原点O到的距离是求双曲线的方程；过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程.10.抛物线方程，直线与x轴的交点在抛物线准线的右边.求证:直线与抛物线总有两个交点；设直线与抛物线的交点为A