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一、填空题1下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是_yxylgxyyx22x3答案：2已知x3y20，则3x27y1的最小值为_解析：x3y20，x3y2，3x27y13x33y12 12 1217，当且仅当x1，y时等号成立答案：73已知x，则f(x)的最小值为_解析：f(x)2 1，当且仅当x2且x，即x3时取得最小值1.答案：14yx(x0)的值域为_解析：当x0时，由基本不等式，得yx22，当且仅当x1时，等号成立当x0，(x)2，当且仅当x，即x1时，等号成立yx2.综上，函数yx的值域为(，22，)答案：(，22，)5函数3x2的最小值是_解析：3x23(x21)363.当且仅当3(x21)时取“”答案：636(2010年高考山东卷)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析：a对任意x0恒成立，设ux3，只需a恒成立即可x0，u5(当且仅当x1时取等号)由u5知0，a.答案：7已知0x，则函数ysinx的最小值为_解析：令tsinx，则t(0,1，函数yt，用函数的单调性定义不难证明此函数在(0,1上是减函数所以当t1时，yt有最小值3.答案：38设a0，b0，且abab10，则ab的取值范围为_解析：abab10，ab1ab()2.令abt，则t1，即t24t40，解得t22，或t22，又tab0，故t2(1)答案：22，)9已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_解析：设直线l为1(a0，b0)，则有关系1.对1应用二元均值不等式，得12 ，即ab8.当且仅当即a4，b2时取“”于是OAB面积为Sab4.答案：4二、解答题10求函数y的最小值解：令tx21，则t1，且x2t1，yt1.t1，t22.当且仅当t，即t1时，取“”，当x0时，函数取得最小值3.11已知a，b为正实数，且ab1，求的最小值解：123232.当且仅当，即a1，b2时取“”故的最小值是32.12为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如下图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元(1)一般情况下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？(2)若受地形限制，净水处理池的长、宽都不能超过14.5 m，那么此时净水池的设计为多少米时，可使总造价最低？解：(1)设净水池长为x m，高为h m，则宽为 m，则总造价f(x)400(2x2)h100h60200800h(x)12000800h2 12000.当且仅当x(x0)，即x15时上述不等式取到“”，故当净水池的长设计为15 m时总造价最低(2)由条件可得即x.考察函数tx在区间上
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