等差数列超难题

2013年4月天哥的高中数学卷一选择题（共30小题）1（2012市中区）已知a2010与a2011是首项为正数的等差数列an相邻的两项，且函数y=（xa2010）（xa2011）的图象如图所示，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（）A4017B4018C4019D40202（2012营口）等差数列an的公差d0，且，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（）A5B6C5或6D6或73（2012市中区）在函数y=f（x）的图象上有点列xn，yn，若数列xn是等差数列，数列yn是等比数列，则函数y=f（x）的解析式可能为（）Af（x）=2x+1Bf（x）=4x2Cf（x）=log3xDf（x）=4（2011江西）设an为等差数列，公差d=2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（）A18B20C22D245（2009安徽）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A1B1C3D76（2005黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a57（2004陕西）设数列an是等差数列，a2=6，a8=6，Sn是数列an的前n项和，则（）AS4S5BS4=S5CS6S5DS6=S58（2004福建）设Sn是等差数列an的前n项和，若=（）A1B1C2D9等差数列an中，Sn是前n项和，且S3=S8，S7=Sk，则k的值为（）A4B11C2D1210在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列|an|的前18项和T18的值是（）A24B48C60D8411设Sn是等差数列an的前n项和，若a10，S8=S13，Sk=0，则k的值为（）A18B19C20D2112an是等差数列，且a1+a4+a7=12，a2+a5+a8=6，如果前n项和sn取最小值，则n为（）A5或6B6或7C7D513在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积为，则b等于（）ABCD14已知等差数列的值为（）A1B2C3D415若数列an是等差数列，且a1+a8+a15=，则tan（a4+a12）=（）ABCD16等差数列an的前n项和Sn=a1+a2+an，若S10=31，S20=122，则S40=（）A182B242C273D48417在数列an中，an=4n，a1+a2+an=an2+bn，nN*，其中a，b为常数，则ab等于（）A1B1C2D218等差数列an中，Sn是其前n项和，a1=2008时，则S2008的值为（）A2006B2006C2008D200819若Sn是等差数列an的前n项和，且S8S3=20，则S11的值为（）A44B22CD8820已知等差数列an中，Sn是前n项和，若S160且S170，则当Sn最大时，n的值为（）A16B9C8D1021等差数列an的前n项和为Sn，若a90，a100，则下列结论不正确的是（）AS10S9BS170CS18S19DS19022在等差数列an中，若a3+a8+a13=C，则其前n项和Sn的值等于5C的是（）AS15BS17CS7DS823已知等差数列an中，a1=11，前7项的和S7=35，则前n项和Sn中（）A前6项和最小B前7项和最小C前6项和最大D前7项和最大24设Sn是等差数列an的前n项和，公差d0，且a3+a11=0，则下列关系式成立的是（）AS6S7BS6S7CS6=S7DS14025等差数列an各项为正数，公差为2，前n项和为Sn，若也是等差数列，则a1=（）A1B2C3D26已知等差数列an满足a1+a2+a3+a11=0，则有（）Aa1+a110Ba2+a100Ca3+a9=0Da6=627已知数列an是等差数列，若a1+a5+a9=2，则cos（a2+a8）的值为（）ABCD28已知数列an为等差数列，且a1+a7+a13=4，则tan（a2+a12）的值为（）ABCD29在等差数列an中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在，中最大的是（）ABCD30一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan（A+C）的值是（）ABCD不确定2013年4月天哥的高中数学卷参考答案与试题解析一选择题（共30小题）1（2012市中区）已知a2010与a2011是首项为正数的等差数列an相邻的两项，且函数y=（xa2010）（xa2011）的图象如图所示，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（）A4017B4018C4019D4020考点：数列与函数的综合；等差数列的前n项和专题：计算题；综合题分析：由题意利用等差数列的性质可得a20100，且a20110，推出 S40190，S40210，再根据图象得a2010+a2011=a1+a40200，可得S40200从而可得答案解答：解：由题意可得：a20100，且a20110，又S4019=4019a20100，根据函数图象的对称轴为故选C2（2012营口）等差数列an的公差d0，且，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（）A5B6C5或6D6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式专题：计算题分析：由，知a1+a11=0由此能求出数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n解答：解：由，知a1+a11=0a6=0，故选C3（2012市中区）在函数y=f（x）的图象上有点列xn，yn，若数列xn是等差数列，数列yn是等比数列，则函数y=f（x）的解析式可能为（）Af（x）=2x+1Bf（x）=4x2Cf（x）=log3xDf（x）=考点：等差数列的性质；函数的表示方法；等比数列的性质专题：计算题分析：把点列代入函数解析式，根据xn是等差数列，可知xn+1xn为常数进而可求得的结果为一个与n无关的常数，可判断出yn是等比数列解答：对于函数f（x）=上的点列xn，yn，有yn=xn由于xn是等差数列，所以xn+1xn=d，因此=，这是一个与n无关的常数，故yn是等比数列故选D4（2011江西）设an为等差数列，公差d=2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（）A18B20C22D24考点：等差数列的性质专题：计算题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值解答：解：由s10=s11，得到a1+a2+a10=a1+a2+a10+a11即a11=0，所以a12（111）=0，解得a1=20故选B5（2009安徽）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A1B1C3D7考点：等差数列的性质专题：计算题分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，a3=35，a4=33，d=a4a3=2a20=a3+17d=35+（2）17=1故选B6（2005黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考点：等差数列的性质分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系解答：解：a1+a8（a4+a5）=2a1+7d（2a1+7d）=0a1+a8=a4+a5故选B7（2004陕西）设数列an是等差数列，a2=6，a8=6，Sn是数列an的前n项和，则（）AS4S5BS4=S5CS6S5DS6=S5考点：等差数列的性质分析：先由通项公式求a1，d，再用前n项和公式验证解答：解：a2=6，a8=6a1+d=6，a1+7d=6得a1=8，d=2S4=S5故选B8（2004福建）设Sn是等差数列an的前n项和，若=（）A1B1C2D考点：等差数列的性质专题：计算题分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题解答：解：设等差数列an的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，=1，故选A9等差数列an中，Sn是前n项和，且S3=S8，S7=Sk，则k的值为（）A4B11C2D12解答：解：an为等差数列，S3=S8，a4+a6+a8=0，a6=0；将k=4，代入S7=Sk，有S7S4=a5+a6+a7=3a6=0，满足题意；若k=2，S7=S2，则a3+a4+a5+a6+a7=0，a5=0，与题意不符；若k=11，a8+a9+a10+a11=0，不能得出a6=0，若k=12，a8+a9+a10+a11+a12=0，a10=0，与题意不符；可以排除B、C、D故选A10在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列|an|的前18项和T18的值是（）A24B48C60D84考点：等差数列的性质专题：计算题分析：根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列|an|的前18项和解答：解：a10，a10a110，d0，a100，a110，T18=a1+a10a11a18=S10（S18S10）=60故选C11设Sn是等差数列an的前n项和，若a10，S8=S13，Sk=0，则k的值为（）A18B19C20D21考点：等差数列的性质专题：计算题分析：先利用等差数列的求和公式表示出Sn，判断出Sn的图象为开口向下的抛物线y=Ax2+Bx上横坐标为正整数的点，推断出函数图象的对称轴，利用点的对称性求得S21=0，推断出k的值解答：解：Sn是等差数列an的前n项和，Sn=An2+Bn，Sn的图象为开口向下的抛物线y=Ax2+Bx上横坐标为正整数的点，抛物线的对称轴为x0=，点（0，0）与（21，0）关于直线x0=对称，S21=0，即k=21故选D12an是等差数列，且a1+a4+a7=12，a2+a5+a8=6，如果前n项和sn取最小值，则n为（）A5或6B6或7C7D5考点：等差数列的性质专题：计算题分析：设等差数列的公差为d，根据a1+a4+a7=12，a2+a5+a8=6，求出a1和d，则得到等差数列的前n项和的公式，根据二次函数求最小值的方法求出Sn的最小值即可解答：解：设等差数列的公差为d，根据a1+a4+a7=12，a2+a5+a8=6，得到：3a1+9d=12，3a1+12d=6；联立解得a1=10，d=2所以an=10+2（n1）=2n12所以等差数列an的前n项和为sn=n211n=（n）2，因为n为正整数当n=5或n=6时，sn达到最小值故选A13在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积为，则b等于（）ABCD考点：等差数列的性质；解三角形专题：计算题分析：由余弦定理得出b2=a2+c22accosB=（a+c）22ac2accosB，由已知ac=6，a+c=2b 代入后消去a，c，解关于b的方程即可解答：解：由余弦定理得b2=a2+c22accosB=（a+c）22ac2accosB，又SABC=acsinB=ac=，ac=6，a、b、c成等差数列，a+c=2b，将代入得 b2=4b2126，化简整理得b2=4+2，解得b=1+故选A14已知等差数列的值为（）A1B2C3D4考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式专题：整体思想分析：利用等差数列的性质和通项公式，将a2+a4+a6+a8+a10用a1和d表示，再将a7a8用a1和d表示，从中寻找关系求解解答：解：an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a2+a4+a6+a8+a10=5a6=5a1+25d=40；a1+5d=8，a7a8=a1+6d（a1+d）=（a1+5d）=4；故选D点评：本题考查了等差数列的性质和通项公式，用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想15若数列an是等差数列，且a1+a8+a15=，则tan（a4+a12）=（）ABCD考点：等差数列的性质；任意角的三角函数的定义专题：计算题分析：根据数列是一个等差数列，根据等差数列的等差中项的性质，得到a4+a12=a1+a15，且第8项是它们的等差中项，得到要求正切的角的大小，根据特殊角的三角函数得到结果解答：解：数列an是等差数列，且a1+a8+a15=，a4+a12=a1+a15=，tan（a4+a12）=tan=故选B16等差数列an的前n项和Sn=a1+a2+an，若S10=31，S20=122，则S40=（）A182B242C273D484考点：等差数列的性质专题：计算题分析：根据等差数列前n项和Sn=an2+bn，则有 ，求出a、b的值，由此可知 解答：解：设Sn=an2+bn，则有 ，解得 ，故选D17在数列an中，an=4n，a1+a2+an=an2+bn，nN*，其中a，b为常数，则ab等于（）A1B1C2D2考点：等差数列的性质专题：计算题分析：解法一：根据所给的数列的通项，代入n=1，得到数列的首项，代入n=2，得到数列的第二项，用这两项写出关于a，b的方程组，解方程组即可，解法二：根据首项的值和数列的前n项之和，列出关于a，b的方程组，得到结果解答：解：法一：n=1时，a1=，=a+b，当n=2时，a2=，+=4a+2b，由得，a=2，b=，ab=1法二：a1=，Sn=2n2n，又Sn=an2+bn，a=2，b=，ab=1故选B18等差数列an中，Sn是其前n项和，a1=2008时，则S2008的值为（）A2006B2006C2008D2008分析：根据等差数列的前n项和的公式分别求出S2007和S2005的值，将其值代入到 中即可求出公差d，然后根据首项为2008，公差为2算出S2008的值即可解答：解：因为S2007=2007（2008）+d，S2005=2005（2008）+d，则=2007（2008）+d2005（2008）+d=2，化简可得d=2则S2008=2008（2008）+2=2008（2008+2007）=2008故选C19若Sn是等差数列an的前n项和，且S8S3=20，则S11的值为（）A44B22CD88分析：由于S8S3=a4+a5+a6+a7+a8，结合等差数列的性质a4+a8=a5+a7=2a6可求a6，由等差数列的求和公式 S11=11a6 ，运算求得结果解答：解：S8S3=a4+a5+a6+a7+a8=10由等差数列的性质可得，5a6=10a6=2由等差数列的求和公式可得 S11=11a6=22，故选B20已知等差数列an中，Sn是前n项和，若S160且S170，则当Sn最大时，n的值为（）A16B9C8D10考点：等差数列的性质专题：计算题分析：根据所给的等差数列的S160且S170，根据等差数列的前n项和公式，看出第九项小于0，第八项和第九项的和大于0，得到第八项大于0，这样前8项的和最大解答：解：等差数列an中，S160且S170a8+a90，a90，a80，数列的前8项和最大故选C点评：本题考查等差数列的性质和前n项和，本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负，本题是一个基础题21等差数列an的前n项和为Sn，若a90，a100，则下列结论不正确的是（）AS10S9BS170CS18S19DS190考点：等差数列的性质专题：计算题分析：先根据题意可知前9项的和最小，判断出A正确；根据题意可知数列为递减数列则a190，又S18=S19a19，进而可知S15S16，判断出C不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知S17=17a90，S19=19a100，故BD正确解答：解：根据题意可知数列为递减数列，a90，a100前9项的和最小，故A正确，S17=17a90，故B正确，S19=19a100，故D正确a190S18=S19a19S18S19，故C不正确故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质考查了学生分析问题和演绎推理的能力综合运用基础知识的能力22在等差数列an中，若a3+a8+a13=C，则其前n项和Sn的值等于5C的是（）AS15BS17CS7DS8考点：等差数列的性质专题：计算题分析：先利用等差数列的性质：若m+n=p+q则有am+an=ap+aq求出a8，在再利用等差数列的前n项和公式表示出s15，将a8的值代入求出值得到选项解答：解：等差数列an中，若a3+a8+a13=C3a8=CS15=5C故选A点评：解决等差数列的一些项的和的问题，一般利用等差数列的性质：若m+n=p+q则有am+an=ap+aq；解决等比数列的一些项的积的问题，一般利用等比数列的性质：若m+n=p+q则有aman=apaq23已知等差数列an中，a1=11，前7项的和S7=35，则前n项和Sn中（）A前6项和最小B前7项和最小C前6项和最大D前7项和最大考点：等差数列的性质专题：计算题分析：先根据等差数列的求和公式和S7的值，求得公差d，进而求得数列的通项公式，要使前n项和最大，只需an0，进而求得n的范围解答：解：由等差数列求和公式S7=711+，d=35可得d=2，则an=11+（n1）（2）=132n，要使前n项和最大，只需an0即可，故132n0，解之得n6.5，故前6项的和最大故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列与不等式的综合运用考查了学生对等差数列基础知识如通项公式，求和公式等的理解和运用24设Sn是等差数列an的前n项和，公差d0，且a3+a11=0，则下列关系式成立的是（）AS6S7BS6S7CS6=S7DS140考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意可得a3+a11=0=2 a7，故 a7=0，从而可得 S6=S7解答：解：由题意可得a3+a11=0=2 a7，a7=0再由公差d0可得 S6=S7 ，故选C点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，求出 a7=0是解题的关键，属于基础题25等差数列an各项为正数，公差为2，前n项和为Sn，若也是等差数列，则a1=（）A1B2C3D考点：等差数列的性质分析：先由等差数列求得Sn，再求得，再采用验证法即可解答：解：等差数列an各项为正