专家预测数学信息卷一

2006年高考专家预测高考数学信息卷一1、把函数ylog2(2x3)4的图象按向量a平移后得到函数ylog24x的图象，则a ;评析:本题初一看，2x变换为4x应该有伸缩变换，单纯平移变换似乎无解，其实这里我们应该注意到log24x1log22x，即是说表面上的伸缩变换在对数重视可以由纵向的平移变换替换的.解析:因为log24x1log22x，所以，只需按照向量a(，3)平移，就可以将ylog2(2x3)4的图象变换为ylog24x的图象答案为：a(，3)2、不等式logaxsin2x(a0且a1)对任意x(0，)都成立，则a的取值范围为 （ ）A (0，) B (，1) C (，1)(1，) D ，1) 评析:将对数函数与三角函数编制成不等式恒成立问题,考查数形结合法的解题思想方法,属中档题.xyO1解析:当a1时，因为x(0，)，故logax0，而sin2x0，不等式不可能成立，故0a1，如图所示,作出两个函数ylogax与ysin2x在区间x(0，)上的图象,根据单调性，由logaxsin2x恒成立,只需logasin21, 且0a1,由此可解得a，1),故应选D.3、当s和t取遍所有的实数时，二元函数f(s，t)(s53|cost|)2(s2|sint|)2的最小值是 .评析:本题源自一道竞赛题，对学生平常不太熟悉的二元函数进行考察，同时考察学生对数形结合思想方法的掌握.解析:原式可看作直线上任意一点与椭圆弧上任意一点之间的距离的平方，可知，椭圆弧上点(3，0)到直线yx5的距离最小，为故所求最小值为2.A 2 BU134、已知全集U1，2，3，9，集合A、B都是U的子集，当AB1，2，3时，我们把这样的(A，B)称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有A.36对B.6!对C.63对D.36对评析:本题改编自一道竞赛试题，考查学生利用排列组合的基本思想方法解决问题的能力.解析:由题意，AB1，2，3，则(UA)(UB)4，5，6，7，8，9如图，这6个元素各有三种位置共选择，且互不相关，故所有满足条件的情况共36种.选D5、在坐标平面上,横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n,连结原点O与点An(n,n3),用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数,则f(2007) ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 评析:直线上的整点问题属于直线的参数方程需要考查的内容,新考纲的调整使得这个问题变得较为突出.本题看似简单，但要得出最后结论却非易事.对整数的分解是小学数学知识点，近年来各地的高考模拟试题中也比较喜欢此类试题，应该加以重视.解析:由已知可得A2007(2007,2010), 直线OA2007的方程为l：yx , 直线OA2007过两个整点(669，670), (1338，1340), 即f(2007)2 . 故应选B. 6、甲乙二人轮流掷一枚均匀的正方体骰子，规定：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则由另一人来掷，且第一次由甲掷.设第n次由甲掷的概率为pn，由乙掷的概率为qn.(1)计算p2，p3的值；(2)求证pnqn是等比数列；(3)求pn.评注：本题是命题者根据生活中的一种游戏编制的有关数列与概率的综合问题，为降低难度，将题目设计为三个小问，逐步推进，总体难度不大，但很有新意，考生要仔细阅读游戏规则，才能找出数列之间的递推关系，进而求出本题答案.数列与概率问题的综合也是当前命题的一个新趋势，应该引起同行们的重视.解析：(1)由已知，p11,q10p2,且q2p3p2q2(2)由已知，pnpn1qn1,qnqn1pn1(n2)两式相减得：pnqn(pn1qn1)(qn1pn1) (pn1qn1)即数列pnqn是公比为等比数列；(3)由(2)得：pnqn()n1(p1q1)()n1又pnqn1pn()n1qn()n1(1pn)pn()n1(nN)pn.7若函数在区间上无实数根，则函数的递减区间是（） 答案：D解析：函数在上的图象是线段，由题意，解得，所以由，得，或，故选D8已知，则的变化范围为（ ） A B C D答案：D解析：设，则 ，9要得到的图象，只需将函数的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 C向右平移个单位答案：C解析：注意到因为向右平移个单位可得到，即故向左移可移回得，也即10曲线上的点到直线的最小距离是( )A. B. C. D.答案：C解析：曲线为圆，圆心(1，1)到直线距离为，圆半径为，所以最小距离为11已知向量，则向量的夹角为（ ） A B C D答案：A解析：，注意到，故有12已知、为椭圆E的左、右两个焦点，抛物线C以为顶点，为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率满足，则为（ ） A B C D答案：B解析：由得，再由椭圆第二定义，由以上两式得，所以即P到椭圆准线的距离等于P到直线的距离，故是它们的公共准线，故，由此得，13. 已知数列的前项和为，则通项公式=_答案：解析：当时，； 又，故14. 设实数满足，则的取值范围是 答案：解析：因，利用圆的参数方程可设，从而因此15某办公室5个职员借助互联网开展开作，职员之间是否上网都互不影响，若每个职员上网的概率都是，则至少2人同时上网的概率为 答案：解析：至少2人同时上网的概率等于1减去至多有1人上网的概率，即16将10个篮球分给6个兴趣小组，每组至少1个篮球，则不同的分配方法有 种答案：126解析：（采用隔板法）将10个球排成一排，中间有9个空，从中选出5个空插入隔板，分成6个组，共有种方法17已知D、E、F分别是边长为的等边三角形ABC各边的中点，G为AE中点，沿DE将ADE折起，使二面角A-DE-B为直二面角（如图）， （1）试求棱锥G-BCE的体积；（2）求点F、G的距离；（3）求直线FG与BC所成的角解法一：（1）E为AC的中点，二面角A-DE-B为直二面角ADE的边DE上的高就是A到面BCE的距离，又G为AE中点，G到面BCE的距离为h= 故棱锥G-BCE的体积V= 4分（2）取DE中点H，连GH、FH，则FHDE， 从而FH面ADE，所以FHGH 6分 在RtFGH中，HG，FH为原ABC的高AF的一半，即， 8分（3）取AD中点K，连FK、KG，则KG/DE/BC，且FG与FK所成的角就是FG与BC所成的角 9分与第（2）题同理可得FK=1， 在等腰FKG中，FK=FG=1，KG=， 故直线FG与BC所成的角为 12分解法二：（1）同解法一（2）以DE的中点H为原点，以HD为x轴，HF为y轴，HA为z轴，建立空间坐标系（如图所示），则H（0，0，0）， F（0，0），A（0，0，），E（，0，0）因G为AE中点，故G（，0，）， 6分（，） 8分（3）因DE/BC，FG与DE所成的角就是FG与BC所成的角 9分由（2）知，（，0，0），（，） ， 11分故，即FG与BC所成的角为 12分18. （本小题满分12分）如图，在一块木板上，钉上一些正六棱柱形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子，前面用一块玻璃挡住.把小滚珠倒在漏斗里，它会通过第一层的通道落到第二层（有几个通道就算第几层）的六棱柱上面，然后，它会随机地滚落到这个六棱柱左边或右边的某一通道里去再以后，它又会落到下一层的三个通道之一里边去依此类推，最终落到最下边的长方形框子中.假设共有n+1层通道，在漏斗里一共放了个小滚珠(n是正整数)，让它们自由落下，落到下边n+1个长方形框子里，那么，落在每个长方形框子中的小滚珠数目将会是多少（按照可能情形来计算）？ 解：可通过分析一个滚珠通过各通道的概率情况估算总体为叙述方便，把通道分为“竖通道”和“斜通道”两类一方面，滚珠通过竖通道后，它会随机地选择左右两脚的斜通道，因此，通过每条斜通道的概率是原来竖通道概率的一半；另一方面，通过每个竖通道的滚珠都是来自左右肩上的两个斜通道，故通过竖通道的概率应为其两肩斜通道概率之和 4分所以，第1层有条竖通道，通过的概率是 1第2层有条竖通道，通过的概率依次是 , 第3层有3个竖通道，通过的概率依次是 ， ， 第4层有4个竖通道，通过的概率依次是 ， ， 8分 以此类推，联想到杨辉三角，第n+1层有n+1个竖通道，滚珠通过各竖通道的概率依次为 , , , , 10分由此，个滚珠按可能的情况来计算，落到各框的数目从左到右依次为，, . 12分19.平面、两两垂直，点A，A到、距离都是3，P是上动点，P到的距离是到A点距离的2倍，则P点轨迹上的点到距离的最小值是_（注：立体几何与解析几何综合题）答案：3AP解 如图：P点轨迹是以A为焦点，离心率为0.5的椭圆，设其方程为，由 解得a=2,c=1,b=,所求距离最小值是3b3ox1020.方程lgx=10-x的解的取值范围是（ ）A. （.0，1） B. （1，2） C. （8，9） D. （9，10）答案：D解 数形结合，如图,分别作出y=10-x,y=lgx的图像，知1x10,0lgxa1,又由解得a2,a2,22. 课本变式题（据人教版高二下A.立体几何9.6，P39页习题7 改编）菱形ABCD中心是O，以AC为折痕对折，使二面角B-AC-D=600，此时有（ ）A).OB=BD B).2BD=OB C).OB=2BD D).A、B、C都不对解答：A. 由条件易知二面角B-AC-D的平面角是DOB, 当二面角B-AC-D=600时，OB=OD,OBD是正三角形，OB=BD（本题考查立体几何中的简单对折问题，二面角的概念）23.某种系统运行故障率y随使用年数t的变化规律是y=a,其中a0、b0是常数，监测表明当t=2时，y=9a,则当运行故障率变为82a时，该系统的运行年数是_答案：4解 由9aa,=3,由82a= a,有823t,t=,t=424. 已知f(x)是R上的增函数，令F(x)f(1x)f(1x)，则F(x)在R上的单调性是（ ）A增函数B减函数C先增后减D先减后增答案：A解 法一：f(1x)是由f(x)左右对称翻转后再右移1个单位得到，f(1x)是减函数，则f(1x)是增函数，f(1x) 是由f(x)右移1个单位得到，仍然是增函数，f(1x)f(1x)是增函数；法二：特殊化法，如f(x)2x，则可以更快捷地得到结论（本题考查函数有关性质）25.数列f(n)的前n项和是Sn，且，0且1，（）求f(n)的表达式；（）若当n4，nZ+时，f(n)是增函数，求的取值范围。解（）由已知得Sn，当n1时，f(1)= S1=,当n2时，f(n)SnSn1，f(n)（）由f(n1)f(n)，化简得解得303（本题考查了数列、方程与不等式知识及分析解决实际问题的能力）26. 某单位计划购置一批某种品牌的商品。已知该商品在A、B、C公司的报价都是a元，A公司的优惠条件是购买10件以上则从第11件起可按报价的75% 计算；B公司的优惠条件是每件按报价的80% 计算；C公司优惠条件是购买10件以上则从第11件起每多购一件在前一件售价基础上减价5。假如由你来决定，在A、B、C公司售后服务完全相同的前提下，你将选择购买哪家公司的该商品？（提供数据如下：可取（95）200.6，（95）210.56，（95）220.54，（95）230.5）解：设计划购置件该商品，若向A公司购买，则总价-2分若向B公司购买，则总价 -4分若向C公司购买，则总价 -7分 当时，显然，故应选择B公司； -8分 当时，令，即： -9分(3) 当时，可算得17.5a；17.6a当x=21时，可算得18.25a；18.3a当x=22时，可算得19a；18.74a当x=23时，可算得19.75a；19.5a-11分所以：当x20 时，选择B公司， 当时，选择A、B两公司都一样， 当x=21时，选择A公司 当x22时，选择C公司 -12分（本题考查应用数列与不等式知识分析解决实际生活中的问题的能力）27.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，则+=_AA1C解：+=0123 28在锐角ABC中，A B C. D 不确定答案： ，在锐角ABC 中， .命题意图：三角函数的基本性质及基本公式（属于容易题）是高考在选择题中必考的题目，本题考查三角函数的性质及两角和的余弦公式.29. 有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在用一个细菌甲来杀死63个病毒乙, 需要多少秒钟A. 6 B. 7 C. 8 D. 10答案：设需要秒，则 故选A.命题意图：考查学生应用数列知识解决实际问题的能力，以及把实际问题转化为数学问题的能力.30. 定义”等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一顼的积都为同一个常数,那么这个数列叫等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积为2的等积数列,且则该数列的前 .答案: 命题意图: 关于新定义的题目在近几年的高考题中经常出现.本题考查应用新知识分析问题解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想. 31. 3 . 答案: 3,.命题意图: 不等式的性质与解法是高考的热点,本题考查不等式 的性质与解法和消元法求最值.32四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，求 （1）AD与PB所成的角；（2）AB与面PBD所成的角：（3）(理)求面PAD与面PBC所成锐二面角的正切值.(文)求二