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5 8 CHI NES E J OURNAL OF M E CHANI CAL E NGI NEE RI NG V o 1 1 8 ，No 1 ，2 0 0 5 L u Y a n j u n Y u L i e L i u H e n g Th e o r y o f L u b r i c a ti o n a n d B e a d n g I n s t i t u e ， X i a n J i a o t o n g U n iv e r s il y | Xia n 7 1 0 0 4 9 Ch in a 0 I NTRoDUCTI oN N ON L I N E AR D YN AMI C C H AR AC T E R I S T I C S OF H Y DR OD YN AMI C J OUR N AL BE AR I N G F L E X I B L E R O T OR S Y S T E M木 Abs t r a c t ：Th e n o n l i ne a r d y n a mi c b e h a vi o r s of fle x i b l e r o t o r s ys t e m wi t h h y d r o d y n a mi c b e a r i n g s u pp o r t s a r e a na l y z e d Th e s h a ft i s mo d e l e d b y u s i n g t h e fin i t e e l e me n t me t h o d tha t t a ke s t he e ffe c t of i ne r t i a a n d s h e a r i n t o c o ns i d e r a t i o n Ac c o r d i ng t o t h e n on l i n e a r i ty o f t he h y d r o d yn a mi c j o u r n a l b e ar i ng fle x i b l e r o t o r s y s t e ma mod i fie d mo d a 1 s yn t he s i s t e c h ni q ue wi t h f r e e i n t e r f a c e i s r e p r e s e n t e d t o r e d uc e d e g r e e s - o f - fre e d o m of mo d e 1 o f t he fle x i b l e r o t o r s y s t e m Ac c o r di n g t o p h y s i c a 1 c h a r a c t e r o f o i 1 fil m va r i a t i o n a 1 c o n s t r a i n a p p r o a c h i s i n tro d uc e d t o c o n t i n u o us l y r e v i s e t h e v a r i a t i o n a 1 for m o f Re y no l d s e q ua t i o n a t e ve r y s t e p of d yn a mi c i nt e gr a t i o n a n d i t e r a t i o n Fl u i d 1 u b r i c a t i o n p r o b l e m wi t l 1 Re yn o l d s b o un d a r y i s s o l v e d b y t h e i s o p a r a me t r i c fini t e e l e me n t me t h o d wi tho u t t h e i n c r e a s ing of c o mp u t i n g e f f orts No n l i n e ar o i 1 fil m for c e s a n d t h e i r J a c ob i ans are s i mu l t a n e o u s l y c a l c u l a t e d an d t h e i r c o mp a t i bl e a c c u r a c y i s ob t a ine dTh e p e rio d i c mo t i o ns are ob mi n e d b y us ing t h e P oi n c ar6 Ne wt o n F l o q u e t ( P NF ) me t h o d A me t h o d c o mb i n i ng t h e p r e d i c t o r c o r r e c t o r me c h ani s m t o t h e P NF me t ho d i s p r e s e n t e d t o c a l c u l a t e t h e b i f u r c a t i o n p o i nt of p e riod i c mo t i o n s t o b e s ub j e c t t o c h an g e of s y s t e m pa r a me t e r s Th e 1 oc a 1 s t a b i l i ty an d b i f u r c a t i o n b e h a v i o r s o f p e rio d i c mo t i o ns are o b t a ine d b y Fl o q u e t t h e o 1 1 1 e c h a o t i c mo t i o n s of t h e b e a r i n g - r o t o r s y s t e m are i n v e s t i g a t e d b y p o we r s p e c t r um Th e n u me r i c a 1 e x a mp l e s s ho w t h a t the s c h e me of t h i s s t u d y s a v e s c o mp u t i ng e f r 0 n s b u t a l s o i s o f g o od pr e c i s i o n Ke y wo r d s ：No n l i n e ar d yn a mi c s Be a rin g - r ot o r s y s t e m S tab i l i t y Bi f ur c a t i o n Ch a o s F i n i t e e l e me n t me t h o d Ro tat i n g ma c h i n e s h a v e f o u n d wi d e a p p l i c a t i o n i n fie l d s s u c h a s p o we r s t a t i o n s ，a i r c r a f t e n g i n e s ，ma c h i n e t o o l s ，a u t o m o b i l e s ， a n d h o u s e h o l d a p p l i a n c e s Be a r i n g r o t o r s y s t e m a s r o tat i n g ma c - h i n e r y , i s a t y p i c a l l y n o n l i n e a r me c h a n i c a l s y s t e mTh e n o n l i n e ar a n a l y s i s me t l l o d h a s t o b e u s e d t o a n a l y z e t h e b e h a v i o r s o f n o n l i n e ar b e a r i n g r o t o r s y s t e m a s t h e l i n e ar a n a l y s i s me t h o d c a n n o t T h e n u me r i c a l me t h o d b e c o me s t h e i mp o r t a n t me a s u r e f o r ana l y z i n g t h e s t a b i l i t y a n d b i f u r c a t i o n p r o b l e m o f t h e b e ari n g r o t o r s y s t e m wi t h mu l t i d e g r e e s o f - fre e d o m b e c a u s e ana l y t i c a l me t h o d d o e s n o t wo r k e ffic i e n t l y At p r e s e n t a l o t o f r e s e a r c h e s h a v e b e e n ma d e i n t h e fi e l d o f t h e n o n l i n e ar b e a r i n g r o t o r d y n a mi c s i n t h e wo r l d Un f o r t u n a t e l y , t h e v h a v e s o me d i s a d v ant a g e s i n mo d e l i n g t h e r o t o r an d t h e b e a r i n g an d are n o t u t i l i z e d t o d i r e c t l y g u i d e the d e s i g n o f d y n a m i c s o f p r o d u c Be c a u s e o f t h e c o mp l e x i t y o f t h e n o n l i n e a r an a 1 y s i s t h e n o n l i n e ar mo d e l o f b e a r i n g r o t o r s y s t e m i S c o mmo n l y s i mp l i fie d a s the n o n l i n e a r mo d e l wi t h f e w d e gre e s o f - fre e d o m an d a n a l y t i c a l f o r ms o f b e a r i n g f o r c e s F o r e x a mp l e ，a s y mme t r i c a l rig i d r o t o r 【 ， o r J e f r c o t t r o t o r mo d e l t p o l y n o mi a l mo d e l 【 。 ， an d s h o r t o r l o n g b e a r i n g mo d e 1 wh i c h d o n o t t r u l y r e p r e s e n t t l l e p r a c t i c a l s y s t e m a c c ura t e l y T h e n o n l i n e ar o i l fil m for c e s o f b e a r i n g s i n t h e s e s t u d i e s h a v e t h e an a l y t i c a l form s b u t t h e n o n l i n e ar f o r c e s c an n o t g e t t h e a n a l y t i c a l for r n s i n p r a c t i c a l b e ari n g r o t o r s y s t e m Ne v e rth e l e s s t h e r e i s s t i l l a l o t o f wo r k t o d o for t h e n o n l i n e ar an a l y s i s o f t h e b e a ri n g r o t o r s y s t e m Du e t o t h a t b e a r i n g s s u p p o rti n g r o t o r ar e n o n l i n e a r i n n a t u r e ， n o n l i n e a r mo t i o n o f r o t o r s u p p o rte d b y b e a r i n g s i s c a u s e d T h e n o n l i n e ar o i l fi l m for e e s a c t o n a few n o d a l p o i n t s o f r o t o r i n d i v i d u a l l y , t h u s b e a rin g r o t o r s y s t e m i s t y p i c a l l y d y n am i c s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a r i t i e s I n a d d i t i o n 1 o c a l n o n l i n e a r i t i e s a n d l i n e a r c o mp o n e n t s o f t h e b e a r i n g - r o t o r s y s t e m are c o u p l e d S o t h e e ffe c t fro m t h e n o n l i n e ari ty i s g l o b a 1 T h i s p r o j e c t i s s u p p o rt e d b y Na t i o n a l N a tu r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a ( N o 5 0 2 7 5 1 1 6 ) a n d Na t i o nal 8 6 3 o f C h i na(No 2 0 0 2 AA 4 1 4 0 6 0 ， N o 2 0 0 2 A A一 5 0 3 0 2 0 ) R e c e i v e d N o v e mb e r 1 8 ， 2 0 0 3 ； r e c e i v e d in r e v i s e d f o r m S e p te mb er 1 5 ， 2 0 0 4 ； a c c ep t e d De c em b e r 8 ， 2 0 0 4 R e f 1 0 】 r e p r e s e n t s a mo d a l r e d u c t i o n me t h o d t h a t i s u t i l i z e d f o r a h i g h - o r d e r d y n a mi c s y s t e m wi th l o c a l n o n l i n e a r i ty Base d o n mo d a l s y n t h e s i s t e c h n i q u e wi t h fi x e d - i n t e r f a c e a me t h o d for d e t e rm i n i n g t h e p e rio d i c s o l u t i o n a n d i t s s t a b i l i t v o f a d y n a mi c s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a r i t i e s i s p r e s e n t e d i n Re f l 1 I n t l l i s p a p e r ,t h e s h a ft i s d i s c r e t i z e d i n t o fi n i t e e l e me n t s wi t h mu l t i d e gre e s - o f - fre e d o ms b y u s i n g a 2 n o d e T i mo s h e n k o s h a ft f i n i t e e l e me n t mo d e 1 Ac c o r d i n g t o t h e n o n l i n e a rit y o f the r o t o r s y s t e m， a mo d i fi e d mo d a l s y n t h e s i s t e c h n i q u e wi t h fre e i n t e r f a c e i s r e p r e s e n t e d t o r e d u c e d e gre e s o f - fre e d o m o f a fi n i t e e l e me n t mo d e l o f fl e x i b l e r o t o r s y s t e mA e r r e d u c t i o n t h e s y s t e m s t i l l k e e p s i t s n o n l i n e a r i t y and s a v e s n o n l i n e ar ana l y s i s e ff o rt s o f the s y s t e m An i s o p a r a me t r i c fin i t e e l e me n t wi t h e i g h t n o d a l p o i n t s me t h o d wh i c h i s b a s e d o n the v a r i a t i o n a l c o n s t r a i n a p p r o a c h i s u s e d t o s o l v e e l l i p t i c a l v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s wi t h Re yn o l d s b o u n d a r y a r i s i n g i n flu i d l u b r i c a t i o n A p e r t u r b e d e q u a t i o n C an b e o b rai n e d d i r e c t l y o n t h e fin i t e e l e me n t e q u a t i o n Co n s e q u e n t l y , n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e s an d the i r J a c o b i a n s are c a l c u l a t e d s i mu l t a n e o u s l y , an d c o mp a t i a b l e a c c ura c y i s o b t a i n e d wi t ho u t the i n c r e asi n g o f c o mp u t i n g e ff o r t s T h i s c an n o t l e a d t o s h a ft r u b b i n g an d b a d c o n v e r g e n c e o f i t e r a t i o n s T h e u n b a l a n c e r e s p o n s e s T p e rio d i c mo t i o n ，and b i f u r c a t i o n b e h a v i o r s o f the s y s t e m wi t h t h e c h an g e o f b e a r i n g d e s i g n p aram e t e r are o b t a i n e d b y u s i n g t h e P N下 me t h o d ，F l o q u e t the o ry a n d c o mb i n a t i o n o f p r e d i c t o r c o r r e c t e r me c h ani s m a n d P NF me tho d Th e c h a o t i c c h a r a c t e r o f the b e ar i n g r o t o r s y s t e m i s i n v e s t i g a t e d b y p o we r s p e c t r u m 1 S YS TE M E QUA T I ONS OF MOT I ON A typ i c a l b e a rin g r o t o r s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a rit y i s s h o w n i n F i g 1 w h i c h c a n b e d i v i d e d i n t o l i n e a r c o mp o n e n t s ( t h e fl e x i b l e s h a ft wi t h o u t d i s k and b e a r i n g s ) and l o c a l n o n l i n e a r c o m p o n e n t s ( n o n l i n e a r b e n g s ) A 2 一 n o d e T i mo s h e r l l 【 o s h a f t e l e me n t mo d e l wi t l l 8 d e e e s o f _ f lr e e d o m【 J ， a S s h o wn i n F i g _ 2 ， wh i c h c a J 1 a c c o mn f b r t h e e _e c t o f e ni a mo me n t a n d s h e a r d e f 0 lm a t i o n s a d o p t e d Us i n g t h e f i n i t e e l e me n t me t h o d ， ne x i b l e s h a f t e q u a t i o n s O f l a t e r la l mO 6 O n b e wr i t t e n a s 肌 +G +七 =Q +， ( ， ) ( 1 ) wh e r e 肌 R ， G R ， 七 R ， Q R ， ， ( X ， ) 维普资讯 CHI NES E J OURNAL OF MECHANI CAL E NGr NE ERr NG 5 9 a r e t h e ma s s ma t r i c e s ，g y r o s c o p e ma tri c e s ，s t i ff n e s s ma tr i c e s ， e x t e rna l f o r c e v e c t o r( i n c l u d i n g we i g h t f o r c e s a n d u n b a l a n c e d f o r c e )a n d n o n l i n e a r f o r c e v e c t o r s o f b e a r i n g s a c t i n g o n a l l n o d a l p o i n t s o f t h e l s h a f t r e s p e c t i v e l y F o r a s h a f t wi t h P n o d a l p o i n t s ， t h e d i s p l a c e me n t v e c t o r i s o f t h e f o r m n o n l i n e a r i t y T o r e d u c e t h e d e g r e e s o f - fre e d o m o f t h e l i n e ar c o mp o n e n t ， X i s writt e n a s a l i n e ar c o mb i n a t i o n o f n c o l u mn s X = 1 ， Y 1 ， ， 1 ， x 2 ， Y ： ， 仍 ， ： ， - - ， x p ， Y P ， p ， ( 2 ) wh e r e wh e r e x i ， Yi ， i ， l f ， i t j = l ， 2 ， ， a r e t h e l a t e r a l t r a n s l a t i o n s a n d r o t a t i o n a n g l e s o f t h e j t h n o d a l p o i n t a l o n g t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l d i r e c t i o n，r e s p e c t i v e l y No n l i n e a r f o r c e v e c t o r c a n b e w nt t e n a s F ( ， ) = 0 ， ， F 0 ， ， ， ， 0 ， ( 3 ) wh e r e “ a r e t h e h o r i z o n t a l a n d v e rti c a l o i l fil m for c e s o f j o u r n a l b e a r i n g a c t i n g o n t h e j t h p o in t o f t h e s h a ft Du e t o t h e n o n l i n e ar o i l fil m f o r c e s o f b e a r i n g s a c t i n g o n f e w n o d a l p o i n t s o f r o t o r i n d i v i d u a l l y t h u s for r o t o r s y s t e m s u p p o rte d b y b e a r i n g s ， t h e f o r c e s o f b e a fi n g s a r e o f t h e l o c a l f e a t u r e a s f o l l o ws F ( ， ) = ( ， xs ) ， 口 ( 4 ) wh e r e X R4 m，F x ， x s 、 R 4 c a n b e w r i t t e n a s = ， Y ， ， ， - - ， x m ， Y ， ， ( 5 ) xs ， xs ) = ， F ， 0 ， 0 ， ， ， 0 ， 0 ( 6 ) F i g 1 S k e t c h o fa b e a r i n g r o t o r s y s t e m l l yz Fi g 2 S h a ft fin i t e e l e me n t mo d e l To s i mp l i f y n o t a t i o n s ，t h e o r d e r o f t h e v e c t o r c o mp o n e n t s i s r e a r r a n g e d a n d E q ( 1 ) c a n b e p a r t i t i o n e d a s ： ： H 曼 ， = 篓 + 毫 (7) As mu c h c o mp u t i n g t i me i s n e e d e d f o r a r o t o r s y s t e m wi t h mu l t i d e gre e s o f-fre e d o m， i t i s i mp o rt a n t t o r e d u c e t h e d e gre e s o f - fre e d o m o f t h e s y s t e m u n d e r t h e c i r c u ms t anc e o f ma i n t a i n i n g a c c u r a c y o f t h e s y s t e m r e s p o n s e s Be c a u s e t h e s y s t e m i s d y n a mi c s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a r i t y , n o n l i n e ar d e gre e s o f - fre e d o m X are o n l y c o n tr o l l e d b y n o n l i ne ar e q u a t i o n s an d t h e l i n e ar d e gre e s o f-fre e d o m d e p e nd o n n o n l i ne ar d e g r e e s o f-fre e d o m X ， t h e r e f o r e t h e l i n e ar d e g r e e s o f-fre e d o m o f s y s t e m c a n b e r e d u c e d I n o r d e r t o i n c r e a s e t h e n u me r i c a l a c c u r a c y a n d a v o i d i n tr o d u c i n g n u me r i c a l e r r o r s t o n o n l in e a r s o urc e s o f t h e s y s t e m， n o n l i n e a r o i l fil m for c e s a n d n o n l i n e ar d e gre e s o f- fre e d o m o f t h e s y s t e m are r e ma i n e d i n p h y s i c a l s p a c e and t h e l i n e a r d e g r e e s o f f r e e d o m o f s y s t e m are trans f o rm e d i n t o mo d a l v e c t o r s T h e r e for e t r u n c a t e d mo d a l t r a n s f o rm a t i o n c a n b e u s e d t o r e d u c e t h e l i n e a r t h e de gre e s o f-fr e e d o m o f s y s t e m Th e r e d u c e d s y s t e m s t i l l k e e p s t h e l o c a l X = p r a = ， ( 8 ) ( 9 ) He r e ， t h e c o l u mn s o f ma t rix R wi t h t h e k e p t e l a s t i c e i g e n mo d e s a r e t h e ma s s n o rm a l i z e d s o l u t i o n s ( JI 一c o ； 朋 ) I = 0( = 1 ， ， n k ) o f t h e u n d a mp e d e i g e n p r o b l e m for ( 0 ， ) Th e c o l u mn s o f t h e ma tri x R wi t h t h e r e s i d u a l fl e x i b i l i ty mo d e s are c a l c u l a t e d a s f o l l o ws = k S- 1 _ Ibb I wh e r e R wi t h t h e k e p t a n g u l ar e i g e n f r e q u e n c i e s l o we r t h an o r e q u a l t o 4 ,3 1 is d ia g o n a 1 T h e n j S t a r t i n g fr o m E q ( 1 1 ) ， ，P c a n b e wr i tt e n a s b - 1 0 P l J l ， 从 儿 i J 一 Th i s r e s u l t s i n t h e f o l l o wi n g t o t a l tr a n s f o rm a t i o n X =r t , ( 1 3 ) I n t h e a b o v e e q u a t i o n，t h e tra n s f o rm a t i o n ma t r i x l Ap p l y i n g t h e tr a n s f o rm a t i o n E q ( 1 3 ) ，t h e r e d u c e d c o mp o n e n t e q u a t i o n s b e c o me T 朋 +T G +T JI r t , =T Q + F ( 1 4 ) Aft e r r e d u c t i o n ，n ( n=n +n ) o r d e r e q u a t i o n s o f t h e s y s t e m are r e d u c e d t o s ( s =n +n ) o r d e r e q u a t i o n s T h e n o n l i n e ar for c e s 0 f b e a r i n g s and t h e u n b a l a n c e for c e s o f d i s k s c an b e e a s i l y a d d e d t o t h e r e d u c e d l i n e ar e q u a t i o n F r o m E q s ( 1 1 ) ( 1 4 ) ， it i s e v i d e n t t h a t t h e u n b a l a n c e for c e s o f s h a ft a n d n o nl i n e ar e ffe c t s are d e ft n i t e l y r e ma i n e d i n t h e r e d u c e d Eq ( 1 4 ) Be c a u s e o f t h e e ffe c t s o f u n b a l a n c e for c e s o f d i s k s ， t h e e q u a t i o n o f mo t i o n o f t h e r e d u c e d me c h an i c a l s y s t e m i s g i v e n b y 朋 +G 哥+k q=Q ( 1 5 ) q= ， p 朋 = 朋 T+朋 G= G + JI = JI T+JI Q= Q + F + ( 1 6 ) wh e r e 朋 ， ， ， 。 aret h e ma s s ， d a mp i n g ， s t i ffn e s s ma t r i c e s o f d i s k s ， u n b a l an c e f o r c e s v e c t o r c a u s e d b y ma s s e c c e n t r i c i ty o f d i s k s Wh e n s t a t e v a r i a b l e s X =( 口 ， 哥 ) are i n tr o d u c e d ， t h e c o rr e s p o n d i n g s y s t e m e q u a t i o n i n s t a t e s p a c e i s = 朋 口 (Q G 哥 2 CALCULATI oN o F NoNLI NEAR FoRCES AND J ACoBI ANS oF H YDRo DYNAM I C BEARI NGS ( 1 7 ) Co mp a t i a b l e a c c u r a c y o f n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e s a n d t h 维普资讯 6 0L u y a n j u n ， e t a l ： N o n l in e a r d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f h y d r o d y n a m i c j o u r n a l b e a r i n g - f le xi b l e r o t o r s y s t e m e i r J a c o b i a n ma t r i c e s a ffe c t s n o t o n l y t h e c o n v e r g e n c e o f t h e P NF me t h o d s o l v i n g p e ri o d i c s o l u t i o n b u t a l s o t h e a n a l y s i s o f s t a b i l i t y a n d b i f u r c a t i o n o f p e rio d i c s o l u t i o n T h e v e r a c i ty o f J a c o b i an s o f n o n l i n e a r f o r c e s a f f c c t s s o l u t i o n o f Fl o q u e t mu l t i p l i e r s d e t e r mi n - i ng s t a bi l i t y o f p e r i o d i c s o l u t i o n As t h a t n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e s o f b e a r i n g s are t h e f u n c t i o n o f d i s p l a c e me n t s an d v e l o c i - t i e s o f t h e c e n t e r o f t h e s h a ft， d i s c r e t e e q u a t i o n s o f s o l vi n g o i l p r e s s u r e fun t i o n a r e o b t a i n e d b y us i n g t h e fin i t e e l e me n t me t h o d Ac c o r d i n g t o f e a t ur e s o f the e q u a t i o n s ，t h e p e r t u r b a - t i o n c a n b e p e rfo r me d d i r e c t l y o n t h e fin i t e e l e me n t e q u a t i o n s ， a n d t h e r e for e o i l fi l m for c e s a n d t h e i r J a c o bi a n s a r e c a l c u l a t e d s i mu l t an e