2017年全国初中数学联合竞赛试题(pdf版含答案)

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试第一试(A)(A) 一、选择题一、选择题： （本题满分（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知实数, ,a b c满足213390abc，3972abc，则 3 2 bc ab （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 【答】【答】B. 已知等式可变形为2(2 )3(3)90abbc，3(2 )(3)72abbc，解得218ab， 318bc，所以 3 2 bc ab 1. 2已知ABC的三边长分别是 , ,a b c，有以下三个结论： （1）以,abc为边长的三角形一定存在； （2）以 222 ,a b c为边长的三角形一定存在； （3）以| | 1,| 1,| 1abbcca为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为 （ ） A0 B1 C2 D3 【答】【答】C. 不妨设abc，则有bca. （1）因为bca，所以2bcbca ，即 22 ()bca （），即bca，故以,abc为 边长的三角形一定存在； （2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以 222 4,9,16abc为边长的三角形不存在； （3） 因为abc， 所以| | 11,| 11,| 11ababbcbccaac ， 故三条边中| | 1ca 大于或等于其余两边，而 | 1| 111abbcabbc （） （）（） （）1 11 | 1acacca = ，故 以| | 1ab，| 1bc，| 1ca为边长的三角形一定存在. 3若正整数, ,a b c满足abc且2()abcabc ，则称( , , )a b c为好数组.那么，好数组的个数 为 （ ） A. 1 B2 C3 D4 【答】【答】C. 若( , , )a b c为好数组，则2()6abcabcc ，所以6ab.显然，a只能为 1 或 2. 若a2，由6ab可得2b 或 3，2b 时可得4c ，3b 时可得 5 2 c （不是整数） ； 若a1，则2(1)bcbc ，于是可得(2)(2)6bc，可求得( , , )a b c（1，3，8）或（1，4， 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 7 页） 5）. 综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4） ， （1，3，8）和（1，4，5）. 4 设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点， 若180BADACB， 且3BC ，4AD ， 5AC ，6AB ，则 DO OB （ ） A. 10 9 B. 8 7 C. 6 5 D. 4 3 【答】【答】A. 过B作/BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB，所以ABCAEB，所以 ACBC ABEB ，所以 6 318 55 AB BC EB AC . 再由/BEAD，得 410 18 9 5 DOAD OBBE . 5设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上， 满足BAFCAE.已知15BC ，6BF ，3BD ，则AE （ ） A.4 3 B.2 13 C.2 14 D.2 15 【答】【答】B. 如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即 90FAEBAC. 又因为ADBC，故 2 ADDE DFDB DC. 而639DFBFBD ，15 312DCBCBD ， 所以 2 93 12ADDE ， 所以6AD ，4DE . 从而 2222 642 13AEADDE . 6对于正整数n，设 n a是最接近n的整数，则 123200 1111 aaaa （ ） A. 191 7 B. 192 7 C. 193 7 D. 194 7 【答】【答】A. 对于任意自然数k， 22 11 () 24 kkk不是整数，所以，对于正整数n， 1 2 n 一定不是整数. 设m是最接近n的整数，则 1 | 2 mn，1m. 易知：当1m时， 1 | 2 mn 22 11 ()() 22 mnm 22 11 44 mmnmm. 于是可知： 对确定的正整数m， 当正整数n满足 22 1mmnmm 时，m是最接近n的整数， 即 n am.所以，使得 n am的正整数n的个数为2m. 注意到 22 13131822001414210，因此， 12200 ,a aa中，有：2 个 1，4 个 2，6 个 3， 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 7 页） E O C B A D A C B F DE 8 个 4，26 个 13，18 个 14. 所以 123200 111111111191 2462618 12313147aaaa . 二、填空题二、填空题： （本题满分（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1使得等式 3 11 aa成立的实数a的值为_ 【答】【答】8. 由所给等式可得 32 (11)aa. 令1xa， 则0 x ， 且 2 1ax， 于 是 有 322 (1)(1)xx， 整 理 后 因 式 分 解 得 2 (3)(1)0 x xx，解得 1 0 x ， 2 3x ， 3 1x （舍去） ，所以1a 或8a . 验证可知：1a 是原方程的增根，8a 是原方程的根. 所以，8a . 2如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC于点F，AF 交BD于点E，若2DEAB，则AED_ 【答】【答】66. 取DE的中点M，在RtADE中，有 1 2 AMEMDEAB. 设AED，则1802AME，18ABM. 又ABMAMB，所以180218，解得66. 3设,m n是正整数，且mn.若9m与9n的末两位数字相同，则mn的最小值为 【答】【答】10. 由题意知，999(91) mnnm n 是 100 的倍数，所以91 m n 是 100 的倍数，所以9m n 的末两位数 字是 01，显然，mn是偶数，设2mnt（t是正整数） ，则 2 9981 m ntt . 计算可知： 2 81的末两位数字是 61， 3 81的末两位数字是 41， 4 81的末两位数字是 21， 5 81的末两位 数字是 01. 所以t的最小值为 5，从而可得mn的最小值为 10. 4 4若实数, x y满足 33 31xyxy，则 22 xy的最小值为 【答】【答】 1 2 . 因为 333322 031()( 1)333xyxyxyx yxyxy 22 (1)()() ( 1)( 1) 3(1)xyxyxyxy xy 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 7 页） M E FC B D A 22 (1)(1)xyxyxyxy 222 1 (1)()(1)(1) 2 xyxyxy， 所以1xy 或1xy. 若1xy ，则 22 xy2. 若1xy，则 22222 111 ()() 1 () 222 xyxyxyxy，当且仅当 1 2 xy时等号 成立. 所以， 22 xy的最小值为 1 2 . 第一试第一试( (B B) ) 一、选择题： （本题满分一、选择题： （本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1 已知二次函数 2 (0)yaxbxc c的图象与x轴有唯一交点， 则二次函数 3233 ya xb xc的 图象与x轴的交点个数为 （ ） A0 B1 C2 D不确定 【答】【答】C. 因为二次函数 2 yaxbxc的图象与x轴有唯一交点， 所以 2 1 40bac ， 所以 2 40bac. 故二次函数 3233 ya xb xc的判别式 3 2336362 3 2 11 ()4(4)() 1616 ba cbacbb 6 15 16 b 0，所以，二次函数 3233 ya xb xc的图象与x轴有两个交点. 2题目和解答与（题目和解答与（A）卷第）卷第 1 题相同题相同. 3 3. . 题目和题目和解答与（解答与（A）卷第）卷第 3 题相同题相同. 4已知正整数, ,a b c满足 2 6390abc， 2 60abc，则 222 abc （ ） A. 424 B. 430 C. 441 D. 460 【答】【答】C. 由已知等式消去c整理得 22 (9)3(1)75ab， 所以 2 3(1)75b， 又b为正整数， 所以16b. 若b1，则 2 (9)75a，无正整数解； 若b2，则 2 (9)72a，无正整数解； 若b3，则 2 (9)63a，无正整数解； 若b4，则 2 (9)48a，无正整数解； 若b5，则 2 (9)27a，无正整数解； 若b6，则 2 (9)0a，解得9a ，此时18c . 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 7 页） 因此，9a ，b6，18c ，故 222 abc441. 5 设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点， 若180BADACB， 且3BC ，4AD ， 5AC ，6AB ，则 DO OB （ ） A. 4 3 B. 6 5 C. 8 7 D. 10 9 【答】【答】D. 解答过程与（A）卷第 4 题相同. 6题目和解答与（题目和解答与（A）卷第）卷第 5 题相同题相同. 二、填空题： （本题满分二、填空题： （本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1题目和解答与（题目和解答与（A）卷第）卷第 1 题相同题相同. 2设O是锐角三角形ABC的外心，,D E分别为线段,BC OA的中点，7ACBOED ， 5ABCOED ，则OED_. 【答】【答】10. 如 图 ， 设OEDx， 则5A B Cx，7ACBx， DOC18012BACx，10AOCx， 所以1802AODx， 180(1802 )ODExxx ，所以 11 22 ODOEOAOC，所 以60DOC，从而可得10 x . 3 3. . 题目和解答与（题目和解答与（A）卷第）卷第 3 题相同题相同. 4 4. . 题目和解答与（题目和解答与（A）卷第）卷第 4 题相同题相同. 第二试第二试 （A） 一一、 （本题满分（本题满分 2020 分）分）已知实数, x y满足3xy， 22 111 2xyxy ，求 55 xy的值. 解解 由 22 111 2xyxy 可得 223322 2()xyxyxyx yxy. 设xyt，则 222 ()292xyxyxyt ， 332 ()()33(9 3 )xyxyxyxyt，代入 上式可得 2 2(3 92 )3(9 3 )tttt ，解得1t 或3t . 10 分分 当3t 时，3xy ，又3xy，故, x y是一元二次方程 2 330mm 的两实数根，但易知此方 程没有实数根，不合题意. 15 分分 当1t 时，1xy ，又3xy，故, x y是一元二次方程 2 310mm 的两实数根，符合题意. 此时 552233222 ()()()(92 ) 3(9 3 ) 3123xyxyxyxy x yttt.20分分 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 5 页（共 7 页） D E O B A C 二、（本题满分二、（本题满分 25 分）分） 如图， ABC中，ABAC，45BAC，E是BAC 的外角平分线与ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB.已知 1AF ，5BF ，求ABC的面积. 解解 在 FB 上取点 D，使 FDAF，连接 ED 并延长，交ABC的外接圆于点 G. 由 EFAD，AFFD 知AED 是等腰三角形，所以 AED1802EADBAC， 10 分分 所以 AGBC，所以 ACBG，所以 ACBG. 15 分分 又BGEBAEADEBDG，所以 BGBD，所以 ACBD514， 20 分分 ABC的AB边上的高sin452 2hAC. 所以，ABC的面积 11 6 2 26 2 22 SAB h . 25 分分 三、 （本题满分三、 （本题满分 25 分）分）求所有的正整数数对( , )a b，使得 3 49 38 b a . 解解 显然， 49 38 b 为奇数，所以a为奇数. 又因为 33 49 3849 3 85 b a ，所以5a . 5 分分 由 3 49 38 b a 可得 3 849 3ba ，即 22 (2)(24)73baaa. 10 分分 设 2 (2,24)aaad， 则d为奇数.注意到 2 24(2)(4) 12aaaa， 所以|12d， 所以d 1 或 3. 15 分分 若d1，则有 2 2 27 , 243 , b a aa 或 22 23 , 247 , b a aa 均无正整数解. 20 分分 若d3，则有 2 21 23 7 , 243, b a aa 或 1 22 23, 243 7 , b a aa 解得11a ，3b . 所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）. 25 分分 第二试第二试 （B） 一、 （本题满分一、 （本题满分 20 分）分）已知实数, ,a b c满足abc，16abc ， 222 1 128 4 abcabc， 求c的值. 解解 设abx，aby，依题意有 22 1 2(16)(16)128 4 xyxyx，整理得 2 1 (8)(8) 8 xy x， 所以8x 或8(8)yx. 10 分分 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 6 页（共 7 页） G F E A B C D （1）若8x ，则8ab，此时c8. （2）若8(8)yx，即8(8)abab ，则(8)(8)0ab，所以8a 或8b . 当8a 时，结合abc可得24abc ，与16abc 矛盾. 当8b 时，结合abc及16abc 可得0a ，8c . 综合可知：8c . 20 分分 二、 （本题满分二、 （本题满分 25 分）分）求所有的正整数m，使得 21 221 mm 是完全平方数. 解解 当m1 时， 21 221 1 mm 是完