南京高三数学第二轮复习电子化讲义三角函数

南京市高三数学二轮专题复习讲义 高三数学二轮复习资料三角函数专题南京九中震旦校区 金玉明2006年1月4日第一课时例1.解：例2.解：，。例3.解：例4.解：备用题1.求的值。解：由得即两边同时除以得，。(本题也可以进行切割化弦，进而求的值。)备用题2.解：由题设知，由求根公式，作业1.解：作业2. 解： 作业3.解： 作业4.解：(1)因为 (2)第二课时例1已知且为锐角，试求的值。解：且为锐角，所以，所以。例2求证：。证明：左边= =右边，原式得证。例3求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，当时，所以，函数的值域为。例4已知的最大值为3，最小值为，求的值。解：当时，由，当时，由，所以，。备用题1已知求的值。解：，又，而，所以，所以。备用题2已知求证：。证明：所以所以， 又所以。作业1已知都是锐角，且求。解：由题意，所以，又因为都是锐角，所以，所以，。(也可以用、来求)作业2求函数的值域。解：设，则，原函数可化为当t=1时，当时，所以，函数值域为。作业3求函数的最大值与最小值。解：，当时，当时，。作业4求证：。证明： ， 所以，左边=右边，原式得证。第三课时例1求函数的最小值，并求其单调区间。解： 因为，所以，所以，所以，当即时，的最小值为，因为是单调递增的，所以上单调递增。例2已知函数。(1) 求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；(2) 证明：函数的图像关于直线对称。解： (1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。例3已知函数，若，且，求的取值范围。解：，因为，所以，所以，所以，而，即，所以，解得：，所以的取值范围是。例4已知函数。(1) 求的最小正周期；(2) 求的最小值及取得最小值时相应的x值；(3) 若当时，求的值。解： (1) 由上可知，得最小正周期为；(2) 当，即时，得最小值为2；(3) 因为，所以，令，所以，所以。备用题1已知函数。(1) 将写成含的形式，并求其对称中心；(2) 如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数的值域。解：(1) ，令得，即对称中心为(2)由b2=ac，所以，此时，所以，所以，即值域为。备用题2已知函数，求(1) 当x为何值时，函数有最大值？最大值为多少？(2) 求将函数的图像按向量平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的奇偶性。解：(1)，当，即时，；(2)按平移，即将函数的图像向左平移单位，再向下平移2个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为，由，所以平移后函数为偶函数。作业1已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值，(1)求 的解析式；(2)求的单调递增区间。解：(1) ，由题意，当时，不是最小值。当时，是最小值。所以；(2)当，即时，函数单调递增。作业2已知定义在R上的函数的最小正周期为，。(1)写出函数 的解析式；(2)写出函数 的单调递增区间；(3)说明的图像如何由函数的图像变换而来。解：(1) ，由题意，代入，有，所以；(2) 当，函数单调增；(3) 将函数的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像。作业3已知，求的最值。解：因为，即，原函数化为，当时，当时，。作业4就三角函数的性质，除定义域外，请再写出三条。解：a. 奇偶性：非奇非偶函数；b. 单调性：在上为单调增函数， 在上为单调减函数；c. 周期性：最小正周期；d. 值域与最值：值域，当时，取最小值， 当时，取最大值；e.对称性：对称轴，对称中心。第四课时例1在中，角A、B、C满足的方程的两根之和为两根之积的一半，试判断的形状。解：由条件可知，即，因为，所以，即，所以，所以A=B，即为等腰三角形。例2在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，求角C的值。解：，所以，所以，所以，又，所以，即，得，所以。例3在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面积。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。例4在中，A、B、C满足，求的值。解：由，且，所以，所以。备用题1在中，A、B、C满足，(1)用表示； (2)求角B的取值范围。解：(1) 因为，所以，由，得(1)，易知，若，则，所以，不合题意，若，则，不合题意，对(1)式两边同除以得，；(2)因为C为的一个内角，所以，则由，知异号，若，则A为钝角，B为锐角，此时，因为，不合题意；若，则B为钝角， A为锐角，则，因为A为锐角，所以，所以，所以。备用题2已知A、B、C是的三个内角，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论。证明：因为A、B、C是的三个内角，所以，因此任意交换两个角的位置，y的值不变。作业1在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且， (1) 求角B的大小；(2)若，求a的值。解：(1)由正弦定理，条件可化成，即，因为，所以，所以，因为，所以，B为三角形内角，所以；(也可以用余弦定理进行角化边完成)(2)将，代入余弦定理，得，整理得，解得。作业2在中，且，判断三角形形状。解：因为，则，则，又因为，所以，所以，若，则，无意义，所以，三角形为正三角形。作业3在中，已知A、B、C成等差数列，求的值。解：因为A、B、C成等差数列，则，所以。作业4在中，求的值和三角形面积。解：由，因为，所以，又因为，第五课时例1已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因为所以又因为，所以，即；(2) ，又因为，所以 ，所以，所以。例2已知向量，且，(1)求函数的表达式；(2)若，求的最大值与最小值。解：(1)，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)导数00+极大值递减极小值递增而所以。例3已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。解：(1) ，由周期为且最大值为1，所以由，所以；(2)由(1)知，令，解得对称轴方成为，所以是的对称轴。例4已知向量，定义函数。(1)求函数 的最小正周期；(2)确定函数的单调区间。解：(1)，所以，所以最小正周期为；(2)令，而在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减。备用题1已知，(1)求；(2)设，且已知，求。解：(1)由已知，即，所以，由余弦定理；(2)由(1)，所以如果则，所以此时。备用题2已知向量，的夹角为，的夹角为，且，求的值。解：，所以，所以，所以，而，又因为，所以，又，所以，又因为，所以，所以。作业1已知0为坐标原点，是常数)，若，(1)求y关于x的函数解析式；(2)若时，函数f(x)的最大值为2，求a的值。解：(1)，所以；(2)令时，f(x)的最大值为3+a，解得a=1。作业2已知，求的值。解：设，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，所以。作业3已知向量，若，求的值。解：由已知得，因为，所以，即，化简得，因为，所以，所以。作业4设平面内两个向量，(1)证明：；(2)若有，求的值。(1)证明：，所以，所以；(2)解：，又因为，所以，即，又因为，所以， 所以，又，则，即。第六课时例1已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。解： ，因为为偶函数，所以，对，有，即，亦即，所以，由，解得，此时，当时，最大值为0，不合题意，当时，最小值为0，当时，由最大值，此时自变量x的集合为：。例2已知函数的图像过点，且b0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。解：(1)，由题意，可得，解得，所以；(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。例3已知函数，(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；(2)判断函数奇偶性。解：(1)，定义域：，值域为：R，最小正周期为；(2) ，且定义域关于原点对称，所以为奇函数。例4已知，求的最值。解：，令，则有，所以，因为，则当时，当时，。备用题1设函数已知函数的最小正周期相同，且，(1)试确定的解析式；(2)求函数的单调增区间。解：，由函数的最小正周期相同，有，即a=2m，又，即，把a=2m代入上式，得，所以有，所以或，若，则有这与矛盾，若，则有，于是有，又，所以，所以；(2)由，所以，函数的单调递增区间为。备用题2已知函数，若函数的最大值为3，求实数m的值。解：，令，则函数变为，分类讨论如下：(1)当时，在t=1时，；(2)当时，在t=1时，；综上所述，。作业1已知函数，求得取值范围，使函数在区间上是单调函数。解：，所以的图像的对称轴为，因为函数在区间上是单调函数，所以，即，又因为，所以得取值范围是。作业2已知函数，(1)判断函数的奇偶性；(2)证明是函数的一个周期。解：(1)定义域，所以函数为偶函数；(2)，所以，所以，所以是函数的一个周期。作业3已知，求的值。解：由(1)，所以，因为，所以，所以(2