南京金陵中学

江苏省南京市金陵中学2006年高三第三次模拟考试 数学试题 2006.05.23第卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的中国数学教育网 (1)设集合M|，kZ，Nx|cos2x0，xR，P|sin21，R，则下列关系式中成立的是中国数学教育网 ( A )(A)PNM (B)PNM (C)PNM (D)PNM(2)下列四个函数中，值域是(，2的一个函数是 ( D )(A)y2x1(x) (B)y(x1)22(1x0)(C)yx(x1) (D)ylog0.5(x1)(x1)(3)若实数m，n满足0，则下列结论中不正确的是 ( D )(A)m2n2 (B)mnn2 (C)2 (D)|m|n|mn|(4)要得到函数ycot(3x)的图象，可将ytan3x的图象 ( B )(A)向右平移个单位 (B)向左平移个单位 (C)向右平移个单位 (D)向左平移个单位(5)已知直线m，n和平面，则mn的一个必要不充分条件是 ( D )(A)m，n (B)m，n (C)m，n (D)m，n与所成角相等(6)已知向量a(2cos，2sin)，b(3cos，3sin)，a与b的夹角为60o，则直线xcosysin10与圆(xcos)2(ysin)21的位置关系是 ( C )(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)随，的值而定(7)已知x，y满足约束条件则z2x4y的最小值为 ( D )(A)10 (B)10 (C)6 (D)6(8)进入21世纪，肉食品市场对家禽的需求量大增，发展家禽养殖业成了我国一些地区发展农村经济的一个新举措下列两图是某县20002005年家禽养殖业发展规模的统计结果，那么，此县家禽养殖数最多的年份是 ( B )(年) 2000 2001 2002 2003 2004 2005场平均家禽养殖数(万只)1.01.82.0(年) 2000 2001 2002 2003 2004 2005家禽养殖场数(个)101418222630(A)2000年 (B)2001年 (C)2003年 (D)2004年(9)已知椭圆1上有n个不同的点P1，P2，P3，Pn设椭圆的右焦点为F，数列|PnF|是公差大于的等差数列，则n的最大值为 ( B )(A)2007 (B)2006 (C)1004 (D)1003(10)以正方体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率为 ( D)(A) (B) (C) (D)第卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分把答案填在题中横线上(11)在(1)15的展开式中，系数最大的项是第 9 项(12)设an为等差数列，从a1，a2，a3，a10中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有 24 个(13)已知命题p：不等式|xm|x1|1的解集为R，命题q：f(x)log(3m)x是(0，)上的增函数若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则实数m的取值范围是 (3，2) 0，2 (14)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则mn的值是 ABC(15)如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC等于 60o (16)有下列命题：G（G0）是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；若角，满足coscos=1，则sin(+)0；若不等式|x4|+|x3|a的解集非空，则必有a1；函数y=sinx+sin|x|的值域是2，2其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列(I)求B的范围；(II)求y2sin2Bsin(2B)的取值范围解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b2ac根据余弦定理，得cosB又因为0B，所以0B所以B的范围是(0，(2)y2sin2Bsin(2B)1cos2Bsin2Bcoscos2Bsin1sin2Bcoscos2Bsin1sin(2B)因为0B，所以2B，所以sin(2B)1，所以y2所以y2sin2Bsin(2B)的取值范围是(，2ABCEDF(18)(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDE中，AE面ABC，BDAE，且ACABBCBD2，AE1，F为CD的中点(I)求证：EF面BCD；(II)求多面体ABCDE的体积；(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值解：(I)取BC中点G，连FG，AG因为AE面ABC，BDAE，所以BD面ABC又AG面ABC，所以BDAG又ACAB，G是BC的中点，所以AGBC，所以AG平面BCD又因为F是CD的中点且BD2，所以FGBD且FGBD1，所以FGAE又AE1，所以AEFG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EFAG，所以EF面BCDEDACBFGHK(II)设AB中点为H，则由ACABBC2，可得CHAB且CH又BDAE，所以BD与AE共面又AE面ABC，所以平面ABDE平面ABC所以CH平面ABDE，即CH为四棱锥CABDE的高故四棱锥CABDE的体积为VCABDESABDECH(12)2(III)过C作CKDE于K，连接KH由三垂线定理的逆定理得KHDE，所以HKC为二面角CDEB的平面角易知EC，DE，CD2由SDCE2CK，可得CK在RtCHK中，sinHKC，所以cosHKC，所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为(19)(本小题满分14分)某空调器厂为了规范其生产的空调器的市场营销，在一个地区指定一家总经销商，规定经总销商之间不得“串货”（即一个地区的总经销商不得向其他地区销售该品牌空调器）经空调器厂和各地区总经销商联合市场调查，预计今年的七月份（销售旺季），市场将需求售价为1800元/台的P型空调器200万台，但该厂的生产能力只有150万台为了获得足够的资金组织生产，该空调器厂规定，每年的销售旺季前预付货款的总经销商在旺季将获得供货优待以东部地区为例，今年的7月份市场将需求P型空调器10万台，如果东部地区的总经销商在2月1日将10万台P型空调器的货款全部付清，空调器厂按1500元/台的价格收取货款，并在7月1日保证供货；每推迟一个月打入货款，每台空调器的价格将增加6元，并且供货量将减少2%已知银行的月利率为0.5%(I)就P型空调器的进货单价而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？(II)就东部地区经销P型空调器而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？(III)东部地区的小王7月1日用分期付款的方式购买了1台P型空调器，如果采用每月“等额还款”的方式从7月1日开始分6次付清，小王每一次的付款额约是多少？(以下数据仅供参考：1.00541.020151，1.00551.025251，1.00561.030378，0.9850.903921，0.9860.885842，0.9870.868126)解 (I)2月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500元；7月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500561530（元）由于1500(10.5%)515001.0252511537.881530，所以，就P型空调器的进货单价而言，经销商在7月1日打入货款划算(II)2月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的利润是100000(18001537.88)26212000（元）；7月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的台数是100000(12%)590392.190392，利润为90392(18001530)24405840（元）由于2440584026212000，所以，就东部地区经销P型空调器而言，在2月1日打入货款最划算(III)设小王每个月的还款数额为x元，则(11.0051.00521.00531.0054)x(1800x)1.0055，即 x18001.0055，解得x303.75(元)答：小王每一次的付款额约是303.75元(20)(本小题满分14分)设椭圆1(ab0)的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2(I)若AF1F2，AF2F1，试用，表示椭圆的离心率e；(II)设1，2，当A在椭圆上运动时，求证：12为定值解：(I)设F1(c，0)，F2(c，0)在AF1F2中，由正弦定理得 ，xF1ByAOCF2即 |AF1|，|AF2|，所以 2a|AF1|AF2|2c()2c，得 e(II)设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)当y00时，122；当AB或AC与x轴垂直时，12当AB，AC都不与x轴垂直且y00时，AC的方程为y(xc)，由消x得b2(x0c)2a2yy22b2y0(x0c)yc2b2ya2b2y0由韦达定理得 y2y0，所以 y2，所以 2 ，同理可得 1，故 12，综上可知 12(21)(本小题满分16分)设函数f(x)x3x2x5(a，bR，a0)的定义域为R当xx1时取得极大值，当xx2时取得极小值(I)若x12x24，求证：函数g(x)ax2bx1在区间(，1上是单调减函数；(II)若|x1|2，|x1x2|4，求实数b的取值范围解法一 f (x)ax2(b1)x1因为f(x)当xx1时取得极大值，当xx2时取得极小值所以f (x)ax2(b1)x10的两根为x1，x2，且x1x2()由题知，f (x)0的两个根x1，x2满足x12x24，当且仅当所以16a4b33(4a2b)，得1因为函数g(x)ax2bx1在区间(，)上是单调减函数，所以函数g(x)ax2bx1在区间(，1上是单调减函数；()因为方程ax2(b1)x10的两个根x1，x2(x1x2)，且x1x20，所以x1，x2同号又|x1x2|4，所以(b1)216a24a若2x10，则2x1x20，则|x1x2|2，与|x1x2|4矛盾，所以0x12，则所以4a12(1b)，结合得(4a1)24(1b)24(16a24a)，解得a或a结合a0，得a所以2(1b)4a1，得b所以实数b的取值范围是(，)解法二 f(x)ax2(b1)x1()由题知，f(x