高等代数(课堂PPT)

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,作业：P73-7.,谢谢！,18,一、映射的概念及例,定义1设A，B是两个非空的集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素x，有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应.,用字母f，g，表示映射.用记号表示f是A到B的一个映射.,如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作,这时y叫做x在f之下的象，记作.,1.2映射,19,20,注意:A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应.一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象.A中不相同的元素的象可能相同.,21,二、映射的相等及像,设是一个映射.对于，x的象.一切这样的象作成B的一个子集，用表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.,设，都是A到B的映射，如果对于每一x，都有，那么就说映射f与g是相等的.记作,22,设是A到B的一个映射，是B到C的一个映射.那么对于每一个，是C中的一个元素.因此，对于每一，就有C中唯一的确定的元素与它对应，这样就得到A到C的一个映射，这映射是由和所决定的，称为f与g的合成（乘积），记作.于是有,对于一切,f与g的合成可以用下面的图示意：,A,B,C,三、映射的合成,23,24,设给映射，有.,但是，一般情况下,25,设A是非空集合,，称为A上的恒等映射。,26,四单射、满射、双射,定义2设f是A到B的一个映射，如果,那么说称f是A到B上的一个映射，这时也称f是一个满映射，简称满射.,是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都有A中元素x使得.,关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.,定义3设是一个映射，如果对于A中任意两个元素和，只要，就有，那么就称f是A到B的一个单映射，简称单射.,27,定义3：如果f既是满射，又是单射，即如果f满足下面两个条件:,对于一切，那么就称f是A到B的一个双射或一一映射。,f是一个双射；存在B到A的一个映射g，使得，再者，当条件成立时，映射g是由f唯一确定的.,一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.,28,29,30,31,32,33,作业：P143，4，9，10.,谢谢！,34,1.3数学归纳法,内容分布最小数原理数学归纳法的依据教学目的掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。重点、难点最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。,35,一、最小数原理,36,数学归纳法的理论依据最小数原理（正整数的一个最基本的性质）.,1最小数原理并不是对于任意数集都成立的,2设c是任意一个整数，令,注意,那么其代替正整数集，最小数原理对于仍然成立.也就是说，的任意一个非空子集必含有一个最小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小数.,37,二、数学归纳法原理,定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整数n有关的命题.如果当n=1时.命题成立；假设当n=k时命题成立，当n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立.,38,39,40,定理1.3.2（第二数学归纳法）设有一个与正整数n有关的命题.如果当n=1时命题成立；假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切自然数n来说都成立.,41,作业：P171，2，3.,谢谢！,42,1.4整数的一些整除性质,一、内容分布整除与带余除法最大公因数互素素数的简单性质二、教学目的1.理解和掌握整除及其性质。2.掌握最大公因数性质、求法。3.理解互素、素数的简单性质。三、重点、难点整除、最大公因数性质、互素有关的证明。,43,一、整除与带余除法,设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a|b表示a整除b。这时a叫作b的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作.,44,定理1.4.1（带余除法）设a，b是整数且，那么存在一对整数q和r，使得,满足以上条件整数q和r的唯一确定的。,45,所以。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此.,假设还，使得,由此或者，或者。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须，从而，也就是说,46,47,二、最大公因数,设a，b是两个整数，满足下列条件的整数d叫作a与b的最大公因数：,48,定理1.4.2任意个整数都有最大公因数。如果d是的一个最大公因数，那么-d也是一个最大公因数；的两个最大公因数至多只相差一个符号。,现证，任意n个整数有最大公因数。如果果，那么0显然就是的最大公因数。,I显然不是空集，因为对于每一个i,证由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。,设不全为零，考虑Z的子集,49,又因为不全为零，所以I含有非零整数。因此,是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，有一个最小数d.下证明，d就是的一个最大公因数。,首先，因为，所以d0并且d有形式,又由带余除法，有,50,如果某一，如，那么,而。这与d是中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有，即。,另一方面，如果。那么。这就证明了d是的一个最大公因数。,51,定理1.4.3设d是的一个最大公因数。那么存在整数，使得。,52,三、互素的定义及其性质,设a,b是两个整数，如果（a,b）=1，那么就说a与b互素。一般地，是n个整数，如果，那么就说这n个整数互素。,（1）,定理1.4.4n个整数互素的充分且必要条件是存在整数，使得,证如果互素，那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令那么c能整除（1）式中的左端。所以c|1，因此c=1,即。,53,四、素数的定义及其简单性质,定义一个正整数p1叫作一个素数，如果除1和p外，没有其它因数。,54,四、素数的定义及其简单性质,定理1.4.5一个素数如果整除两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a与b中的一个。,证设p是一个素数，如果p|ab，但，由上面所指出的素数的性质，必定有（p,a）=1。于是由定理1.4.4，存在整数s和t使得sp+ta=1两边同乘以b：spb+tab=b.左边的第一项自然能被p整除；又因为p|ab，所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和，从而p|b.,55,作业：P231，2，4，5.,谢谢！,56,1.5数环和数域,定义1：设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a,b来说，a+b,ab,ab都在S内，那么就称S是一个数环。,例1取定一个整数a，令那么S是一个数环。,如取a=2，那么S就是全体偶数所组成的数环。,一、数环和数域的定义,证明：S显然不是空集。设，那么,所以S是一个数环。,57,定义2设F是一个数环，如果,F含有一个不等于零的数；,如果，,那么就称F是一个数域。,例2令.证明S是数环,证明：S显然不是空集，设，那么,所以S是一个数环。,58,例3令，则F是一个数域。,这就证明了F是一个数域。,证明：易知F是一个数环，并且，所以成立。,现设，,那么，,否则当d=0时，,c=0，这与矛盾；,当的时，,矛盾。因此,59,二、数环与数域的性质,1.任何数环都含有数零；2.任何数域都含有数零和数1；3.两个数环的交还是数环；4.两个数域的交还是数域；,60,4.定理1.5.1任何数域都包含有理数域Q。,