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文档简介
第三节 平面向量的数量积 考纲解读1、 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2、 了解平面向量数量积的与向量投影的关系。3、 掌握数量积的坐标表达,会进行平面向量数量积的运算。4、 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。考点梳理1平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则数量 叫做a与b的数量积(或内积)规定:零向量与任一向量的数量积为 . 向量的投影:cos=R,称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影; (2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积2平面向量数量积的运算律(1)abba;(2)(a)b R;(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的性质设非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a,b结论几何表示坐标表示模夹角与的关系基础自测1、设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ()()= | ()()不与垂直 (3+2)(32)=9|24|2中,是真命题的有( )A. B. C. D.2、| |=1,| |=2,= + ,且,则向量与的夹角为( )A30B60C120D1503、已知向量与的夹角为,则等于( ) A5B4C3D14.(11年辽宁)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a(2a-b)=0,则k=( )(A)-12 (B)-6 (C)6 (D)125.已知向量满足,与的夹角为,则在上的投影为 题型一:数量积的概念及运算例1判断下列各命题正确与否:(1); (2); (3)若,则;(4)若,则当且仅当时成立;(5)对任意向量都成立; (6)对任意向量,有。变式1 (1) 已知中,过重心的直线交边于,交边于, ,则 题型二:向量的夹角与模例2(1)过ABC的重心任作一直线分别交AB,AC于点D、E若,则的值为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1(2)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且,那么与的夹角的大小是 。(3)已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角。变式2(1)(09辽宁)平面向量a与b的夹角为,a(2,0), | b |1,则 | a2b |等于A. B.2 C.4 D.12题型三平面向量的垂直问题例3.已知平面向量,(1)证明:;(2)若存在不同时为的实数和,使,且,试求函数关系式.变式3、设向量满足若,求的值题型四 数量积的综合应用例4(看80页例4)已知,其中(1)求证: 与互相垂直;(2)若与的长度相等,求的值(为非零的常数)变式4已知,函数(1)求函数的单调递增区间;(2)若,求的值。课后作业一、选择题1(2010广东)若向量a(1,1),b(2,5),c(3,x)满足条件(8ab)c30,则x()A6 B5 C4 D32已知平面向量a(1,3),b(4,2),ab与a垂直,则()A1 B1 C2 D2 3.(2011年全国卷文科3)设向量满足|=|=1, ,则 (A) (B) (C) (D)4设非零向量a、b、c满足|a|b|c|,abc,则a,b()A150 B120 C60 D305设A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为()A4a5b3 B5a4b3C4a5b14 D5a4b14二、填空题6已知向量a(1,sin ),b(1,cos ),则|ab|的最大值为_7关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:若ab且ac,则bc.若a(2,k),b(2,6),ab,则k6.非零向量a和b满足|a|b|ab|,则a与ab的夹角为30.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)8|a|1,|b|,且a(ab),则向量a与向量b的夹角是_三、解答题 9在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(t)0,求t的值10已知A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin )(1)若1,求sin()的值;(2)若|,且(0,),求与的夹角一、选择题:4(2011年重庆卷文科5)已知向量共线,那么的值为A1 B2 C3 D45(11年广东)已知向量,若为实数,则= A B C D二、填空题:5. (2011年海南卷文科13)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则 .6. (2011年福建卷文科13)若向量a=(1,1),b(-1,2),则ab等于_.7. (2011年四川卷文科7)如图,正六边形ABCDEF中,=(A)0 (B) (C) (D)8(2011年湖南卷文科13)设向量满足且的方向相反,则的坐标为 9(2011年湖北卷文科2)若向量,则与的夹角等于A.B.C.D. 10.(2011年浙江卷文科15)若平面向量、满足,且以向量、为邻边的平行四边形的面积为,则和的夹角取值范围是_。11. (2011年天津卷文科14)已知直角梯形ABCD中,ADBC,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 .12.(2011年江苏卷10)已知是夹角为的两个单位向量, 若,则k的值为 .例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。 分析:用解方程组思想法一:设=(x,y),则=x-y,=x+y = 即
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