圆锥曲线与平面向量的综合

圆锥曲线与平面向量的综合解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映了几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题，可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。在 2004年的试卷中,向量与解析几何综合的解答题有：全国卷（文，理），全国卷（理），天津卷（文，理），湖南卷（文，理），江苏卷，辽宁卷等.在 2005年的试卷中,向量与解析几何综合的解答题有：全国卷（文，理）， 全国卷（文，理），天津卷（文，理），福建卷（文，理），重庆卷（文，理）， 湖南卷（文，理），辽宁卷等.这表明在全国2004年的25套试卷中有9套占，在2005年的29套试卷中,就有13套,占.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：1. 给出直线的方向向量或；2. 给出与相交,等于已知过的中点;3. 给出,等于已知是的中点;4. 给出,等于已知与的中点三点共线;5. 给出以下情形之一,存在实数若存在实数,等于已知三点共线.6. 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即7. 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,8. 给出,等于已知是的平分线.9. 在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;10. 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;11. 在中，给出，等于已知是的外心；12. 在中，给出，等于已知是的重心；13. 在中，给出，等于已知是的垂心；14. 在中，给出等于已知通过的内心；15. 在中，给出等于已知是的内心；16. 在中，给出,等于已知是中边的中线; 17. 给出,等于已知的面积 【例1】(2005年，辽宁卷，21)已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. 【分析及解】 （）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则 因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记，由知，则 【例2】(2005年，重庆卷，理21)已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （）求双曲线C2的方程；（）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.【分析及解】（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为()将代入得由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为 【例3】(2005年，全国卷，理21文22)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （I）求椭圆的离心率； （II）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.【分析及解】（I）设椭圆方