第12课：圆锥曲线中关于直线的对称性问题答案

第12课：圆锥曲线上两点关于直线的对称问题答案【典例分析】例1.解法一：设存在两点，关于对称，中点为，则AB所在直线为，与椭圆联立得：， 由韦达定理：，得，而点Q在直线上，所以，得代入式，故有，解得：。解法二：设存在两点，关于对称，中点为，则得而由题意可得：，所以 而中点Q又在直线上， 由可得，所求是椭圆弦的中点，必在椭圆的内部， 即。例2：解：解法三显然，设存在两点为，关于已知直线对称，是方程的两个不同根，得。变式训练1.【解析】解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，设、，中点，则 点在直线上，代入，得，即解得解法二：设，关于对称，中点，则相减得：，则 在抛物线内部，化简而得，即，解得例3. 解：（）根据题意设双曲线的方程为，且，解方程组得，所求双曲线的方程为。（）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称；当时，设又曲线上的两点关于直线对称，由lMN，直线MN的方程为，则M、N两点的坐标满足方程组，消去y得，显然，即，设线段MN中点为，则，在直线l：y=kx+4上，即，解得m0或m-1，或，或，即或，且k0，k的取值范围是。解法二（点差法）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称；当时，设又曲线上的两点关于直线对称，中点为，则得而由题意可得：，所以 而中点Q又在直线上， 由可得，作为双曲线弦的中点，必在双曲线的内部，或或，即或，且k0，k的取值范围是。解三。（设圆法）因为直线恒过定点，故以为圆心，为半径的圆交双曲线于，。由代入圆方程化简得，又，故的中点的纵坐标代入得，又点在双曲线的内部，以下同上。【巩固提升】 1. 解析：（1）设，则由，得.解得，或.，得，故.（2）由，得B（10，5），于是直线OB的方程为.由题设可知圆的标准方程为，所以圆心（3，-1），半径为.设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y），则，解得.故所求圆的方程为.（3）设为抛物线上关于直线OB对称的两点，则：，整理得：，即为方程的两个相异实根.于是由，得.故当时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点.2. 解：设抛物线上两点，关于直线对称，的中点，显然， 所以， 由知，是方程的根，由得，所以3. 证明：如图，若两点关于对称，可设、且，又在抛物线上，则 ，得，代入得，其判别式，所以无解，与题设矛盾。也就是说，不存在满足对称的两点。4. 解：（I）设椭圆E的方程为将A（2，3）代入上式，得椭圆E的方程为 （II）解法1：由（I）知，所以直线AF1的方程为：直线AF2的方程为：由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设上任一点，则 若（因其斜率为负，舍去）.所以直线l的方程为：解法2： （III）解法1：假设存在这样的两个不同的点由于M在l上，故 又B，C在椭圆上，所以有两式相减，得即将该式写为，并将直线BC的斜率和线段BC的中点，表示代入该表达式中，得 2得，即BC的中点为点A，而这是不可能的.不存在满足题设条件的点B和C.解法2：假设存在，则得一元二次方程则是该方程的两个根， 由韦达定理得于是B，C的中点坐标为又线段BC的中点在直线即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点. 5.解析：（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点点F到直线的距离为3，解得 所以椭圆的方程（2）假设存在直线，设其方程为：，代入