角平分线定理使用中的几种辅助线作法

角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题:如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD为BAC的对称轴，又因为BEAD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因为ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，1=2，P为BN上的一点，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求证：BAPBCP=180。证明：经过点P作PEAB于点E。因为PEAB，PDBC，1=2，所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因为ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因为PEAB，PDBC，所以PEB=PDB=90.在PAE和RtPCD中所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因为BAPEAP=180，所以BAPBCP=180。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在ABC中，PB、PC分别是ABC的外角的平分线，求证：1=2.证明：过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PFBC于点F因为P在EBC的平分线上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可证PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分线，所以1=2。妙加辅助线解角平分线问题提到角平分线问题，我们很自然的想到角平分线有关的定理：1、角平分线性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；2、角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。那么，你知道怎么运用它们进行解有关的题目吗？下面与同学们谈一谈如何正确添加辅助线解解有关的题目。一、作垂线段当题目的已知中出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用有两种：1、把已知角平分两个相等的小角；2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。例1 如图，已知：A=90，ADBC，P是AB的中点，PD平分ADC，求证：CP平分DCB。分析：因为已知PD平分ADC，所以我们过P点作PECD，垂足为E，则PA=PE，由P是AB的中点，得PB=PE，即CP平分DCB。APBDEC1234证明：作PECD，垂足为E，3=A=90，PD平分ADC，PA=PE，又B=3=90，PB=PE，点P在DCB的平分线上，CP平分DCB。二、利用垂线，构造等腰三角形例2、如图，已知：ABC中AD垂直于C的平分线于D，DEBC交AB于E.求证：EA=EB。分析：由AD垂直于C的平分线于D，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD交BC与点F，得D是AF的中点，又因为DEBC，由三角形中位线定理得EA=EB。AEBFC12D证明：延长AD交BC与点F，CD平分ACF，1=2，又ADCD，ADCFDC，AD=FD，又DEBC，EA=EB。与角平分线相关的作图题举例1、如图1所示，校园内有两条公路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并且到两条公路的距离也一样远。请你画出灯柱的位置P。图1图2分析：线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的点。解：如图2所示，作AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，相交于点P。点P就是所求作的点。图3图42、如图3所示，要在两条公路的中间修建一座加油站，位置选在到两条公路的距离相等，并且到两条公路交叉点A处的距离为2cm（指的是图上距离）。请你设计出加油站的位置，并说明你的理由。分析：在实际生活中，会经常用到角平分线的性质定理和逆定理，解决此类问题的关键是从实际问题中构造出数学模型，然后利用数学知识解决问题。解：如图4所示，作BAC的角平分线AD，在AD上截取AP，使AP=2cm。点P就是所求作的点。图5图63、如图5所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m，现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花。请你设计出一个方案，并说明你的理由。分析：要想以长为20m、30m、40m的边构造三角形，并且使它们的面积之比为2：3：4。如果以长为20m、30m、40m的边为三角形的底，那么它们相应的高应该相等。要想使它们的高相等，通过作两个内角的角平分线就可以，角平分线的交点就是三角形的第三个顶点。解：方案：如图6所示，分别作C和B的角平分线，它们相