圆锥曲线与函数导数的综合

圆锥曲线与函数 导数的综合切线是曲线的一个重要的几何性质，导数的介入使求切线方程成为可能，从而丰富了解析几何的研究内容，而研究圆锥曲线有关参数的范围，有关几何元素的最值则离不开函数和导数等工具，即用导数求切线的斜率，用函数或导数求最值或参数范围等，因此在考查圆锥曲线的试题中，经常出现圆锥曲线与函数和导数的综合题。在 2004年的试卷中, 函数,导数与解析几何综合的解答题出现的,有全国卷（理 ）（函数值域），全国卷（理 ）（函数值域），福建卷（文，理）（切线），湖南卷（理）（切线）辽宁卷（最值）。在 2005年的试卷中, 函数,导数与解析几何综合的解答题出现的,有 全国卷（文，理）(增减性,最值)，广东卷（最值），天津卷（最值），江西卷（切线）浙江卷（最值）等【例1】(2005年，全国卷II，理21文22)P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【分析及解】 如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为。又PQ过点F（0,1），故PQ方程为，将此式代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为、，则， 从而，当时，MN的斜率为，同上可推得故四边形的面积令，得因为，当时，且S是以为自变量的增函数，所以（2）当时，MN为椭圆长轴，综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 【例2】( 2005年，江西卷，理22)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（）求APB的重心G的轨迹方程.（）证明PFA=PFB. 【分析及解】（）设切点A、B坐标分别为， 由的导数为,切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （）方法1： ,由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB. 【例3】(2004年，湖南卷，理21)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.()设点P分有向线段所成的比为，证明:；()设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程. 【分析及解】（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、