平面向量的综合运用梅山该

平面向量的综合应用平阳鳌江中学梅山爱设计理念和理念考试说明指出：“数学学科的考试是基于在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则。”“数学知识的考试应全面而有重点，注意学科的内在联系和知识的整合，学科的内部联系，包括知识发展过程中各个部分的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系。知识的整合，就是从学科的整体高度考虑问题，设计知识网络交汇处的试题由于向量将形式和数字融为一体，并具有几何形式和代数形式的“双重同一性”，因此向量已成为高中数学知识的重要交叉点和连接许多知识内容的媒介。因此，向量已经成为“在知识网络的交叉点上设计试题”的良好载体从2001年至2004年的新高考课程来看，向量考试逐年增加。除了直接考查平面向量外，向量与解析几何、向量与三角形的结合，以及在知识的交叉点上命题，不仅是高考的热点，也是高考的重点，如2004年的福建第17题、辽宁第19题、全国高考第21题。因此，研究载体等内容的综合应用对培养学生能力(尤其是培养学生从整体学科角度解决问题的综合能力)和把握高考命题改革趋势具有重要意义。本专题在复习整理基础知识的基础上，突出平面向量等知识的综合应用，渗透向量解题的思维方法，从而提高学生分析问题、综合运用知识解决问题的能力，使学生在新的高度认识和理解向量。高考考点点评一、2005年考试大纲回顾：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，理解共线向量的概念。2.掌握向量的加法和减法。3.掌握实数和叉积，理解两个向量共线的充要条件。4.理解平面向量的基本定理，理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5.掌握平面向量的数积及其几何意义，理解利用平面向量的数积可以处理与长度、角度和垂直度有关的问题，掌握向量垂直度的条件。6、掌握平面上两点之间的距离，掌握线段固定得分点和中点公式，并能熟练运用、掌握平移公式。二、高考考点复习：在高考试题中，平面向量的考试主要包括四个方面：第一种是主要考察平面向量的概念、性质和算法，理解和运用其直观的几何意义，并能正确计算，如浙江省2004年第14卷，2004年全国高考理科一科3，2004年全国高考理科二科14，以及2004年湖北高考理科解19。其次，考试向量的坐标表示向量的线性运算，如2004年高考理科第9题，2004年广东高考理科第1题，2004年上海高考文科第6题等。三是与其他知识相结合，在知识的交叉点设计试题，考查向量与学科知识的综合应用能力。例如，在2002年国家新课程卷中，出现了与数列相结合的题目，2004年福建省高考第17题(与三角函数相结合)，2004年全国第21题(与解析几何相结合)等。第四是考察向量作为工具的使用，即构造向量来解决相关的定量问题。例如向量是一个不同于量的量。它由两个因素决定：大小和方向。向量有三种表示：一种是有向线段，另一种是字母A或，第三种是坐标A=(x，y)。请注意共线向量(也称为平行向量，具有相同或相反方向的向量)和相等向量(具有相同方向和相等模的向量)之间的联系和区别。2、向量运算向量运算有四种：加法、减法、数乘向量和向量的数积。请注意前三个向量运算的几何表示以及这四个运算的坐标表示和计算法则。3.平面向量定理及其相关性质(1)两个非零向量平行的充要条件：ab a=b(R)设A=(X1，Y1)，B=(X2，Y2)那么abx1y 2-x2y 1=0(2)两个非零向量垂直的充要条件：ab ab=0设A=(X1，Y1)，B=(X2，Y2)那么 bx1x2 y1y2=0(3)平面向量的基本定理：如果E1和E2是同一平面上的两个非共线向量，那么对于该平面上的任何向量A，都有且只有一对实数1和2，使得A= 1E1 2E2。(4)三点共线定理：平面上三个点A、B、C共线的充要条件是存在实数和，因此 =1，O是平面上的任意点。4.常见公式和结论A.向量模数公式：集合=(x，y)，则u为B.两点之间的距离公式：=P1(x1，y1)，P2(x2，y2)c、线段固定得分点坐标公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，中点坐标公式：或M(x0，y0)是线段AB的中点e、两个矢量的夹角公式：cos=0180，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)F.图形翻译公式：如果点P(x，y)通过向量a=(h，k)移动到(，)，然后g .关于向量模的共同结论：，示例说明第一类，平面向量学科的综合应用这种问题经常出现在选择题和填空题中。它主要研究平面向量的相关概念和性质。它要求考生深刻理解平面向量的相关概念，精通向量的各种运算，熟悉常用的公式和结论，并理解和掌握两个向量共线和垂直的充要条件。例1。给定a=(5，4)和b=(3，2)，平行于2a-3b的单位矢量是_ _ _ _ _ _ _ _。指向有两个与非零向量A共线的单位向量：单位向量E1=(与A方向相同)和单位向量E2=-(与A方向相反)。方法1: 2a-3b=2 (5，4)-3 (3，2)=(1，2)。方法2:使e=(x，y)* 2a-3b=(1，2)，e平行于2a-3b。 x-2y=0。和x2 y2=1通过和解决。变式众所周知，B是a=(-3，4)垂直，而=15，求B. (12，9)或(-12，-9)例2。假设=1，=1，a和b之间的角度是60，x=2a-b，y=3b-a，x和y之间的角度是多少？指向要计算X和Y之间的角度，你需要找出，xy的值，它可以通过2=x2来求解。分辨率从已知的=1，a和b之间的角度为60，ab=cos =* 2=x2=(2a-b)2=4a 2-4a b+B2=4-4+1=3，2=y2=(3 b-a)2=9 B2-6ab+a2=9-6+1=7，xy=(2a-b)(3b-a)=7ab-2a2-3b2=-，并且xy=cos，即-=coscos=-,=-arccos.变式1(2004年高考浙江卷)假设平面上的三个点A、B、C满足=3、=4、=5，则该值等于_ _ _ _ _ _。-25变型2给定=，=2，A和B之间的角度为45，当矢量A a+b和 A B之间的角度为锐角时，求的取值范围。 ( 1)第二类，平面向量和函数，不等式，三角函数和数列的综合应用当平面向量给出的形式包含一个未知数时，关于未知数的关系可以由向量平行或垂直的充要条件得到。在此基础上，我们可以设计关于函数、不等式、三角函数和序列的综合问题。解决这些问题的方法是将它们转化为代数运算。主要有两种方法来改变它们：(1)利用向量平行或垂直的充要条件，(2)利用矢量积的公式和性质。例3。平面向量A=(，-1)，B=(，)是已知的。(1)如果有实数k和t，那么x=a (T2-3) b，y=-ka TB，和xy，试着找出函数关系k=f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k=f (t)的单调区间。分析(1)方法1:知道X=(，)，Y=(t-k，t-k)和xy所以x y=(t-k) (t k)=0。整理：T3-3T-4K=0，即K=T3-T .方法2: a=(，-1)，b=(，)，=2，=1和abxy x y=0，即-k2 t (T2-3) 2=0， T3-3t-4k=0，即k=T3-t(2)从(1)可知：k=f(t)=T3-tk=f(t)=T3，让k uu0得到-1 t 0，使t 1。因此，k=f (t)的单调递减区间是(-1，1)，单调递增区间是(-，-1)和(1，)。结论问题1中的两个解是求解向量垂直度的两种常用方法：首先利用向量的坐标运算分别得到两个向量的坐标，然后利用向量垂直度的充要条件；二是直接使用向量垂直度的充要条件，其过程需要使用向量的量积公式和模数公式来达到相同的目的(但运算过程大大简化，值得注意)。在问题2中，求导法被用来寻找函数的极值，这是新旧知识交汇处的综合应用。变型1给定平面向量=(，-1)，=(，)，如果有不为零的实数k和角，使向量=(SiN -3)，=-k (SiN )，并且试图找到实数k的值域指出例子中的T稍有变化，旧的问题是新发现的。取得了意想不到的结果。向量和三角函数的综合应用能力得到了很好的检验。分析模拟示例3(1)解决方案(2)可用K=(sin-) 2-，和-1 sin 1，当sin=-1时，k取最大值1；当sin=1时，k取最小值.k0 k值的范围是。变式2已知向量=(x，x-4)，向量=(x2，x)，x -4，2。(1)尝试用x来表示；2找出最大值，并找出此时夹角的大小。(1)=x3 x2-6x，(2)最大值为10，其中x=-2，=arccos例4。(福建高考试卷2004)设置函数f (x)=ab，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x r(1)如果f(x)=1-和x -，求x；(2)如果根据向量c=(m，n) ()平移函数y=2sin2x的图像，则获得函数y=f (x)的图像，并且获得m和n的值。分析本课题主要研究平面向量的概念和计算、转换公式和三角函数的常数变换等基本技巧。(1)根据主题，f (x)=(2cosx，1)(cosx，sin2x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+)从1 2 sin (2x )=1-，sin (2x )=-。-x ,-2x+， 2x=-，也就是说，x=-.(2)函数y=2sin2x的图像被向量c=(m，n)平移，以获得函数y=2sin2 (x-m) n的图像，即函数y=f (x)的图像。从(1)f(x)=1， m=-，n=1。结论 函数图像的矢量平移可以看作是C上任意点的矢量平移。由这些点平移后的相应点形成的图像是C。阐明了上述各点的翻译与整个图像的翻译之间的关系，并找到了解决这一问题的方法。(2)通常，函数y=f (x)被矢量a=(h，k)转换的图像的分辨率函数是y-k=f(x-h)例5。(2002年全国高考新课程卷)两点m (-1，0)，N(1，0)，点p使，变成公差小于零的算术级数。点p的轨迹是什么曲线？(ii)如果点p的坐标是(x0，y0)，是与的夹角，则计算tan。分析这个主题自然地整合了解析几何、三角学、数列和其他基于向量的知识。它不仅检查向量的长度、角度和数量的乘积，还检查关键知识，如轨迹方程、算术级数和在同一角度的三角函数之间的关系。可以说它一举完成了许多事情。轻微解决方案(1)设置P(x，y)并计算，根据问题的含义，我们可以得到点p的轨迹方程如下因此，点P的轨迹是一个以原点为中心和半径的右半圆。(二)从(一)，cos =，x0,也就是说，所以sin =，变型两个M (-1，0)，N (1，0)和点P组成一个公差小于零的等差数列，向量垂直于A=(1，0)，从而得到点P的坐标。P=(1，)，或(1，-)第三类，平面向量和解析几何的综合应用向量不仅能反映“形”的直观位置特征，而且具有“数”的良好运算性质，是数与形结合转化的桥梁和纽带。解析几何还具有数和形的组合和变换的特点。因此，在向量与解析几何的交点处设计试题逐渐成为高考命题的一个新亮点。平面向量与解析几何的结合出现在2004年全国高考第一卷和第二卷中，也出现在许多省市自考的高考试卷中(如天津和湖南)。从这个角度来看，向量与解析几何的结合将是未来高考的重点和热点，应该引起我们的高度重视。平面几何和解析几何的结合通常涉及对诸如夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理。解决这些问题的基本思想是协调、象征和量化几何问题，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，用它的几何意义来解决相关问题。主要包括以下三种问题：1.利用向量共线性的充要条件理解平行性和共线性的一些问题利用向量共线性的充要条件来理解平行性和共线性等几个问题，是一种