数学77课外学生练与悟人教

第7章 第7讲一、选择题1已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析(5,1，7).(2，3,1)0ACBC.即ACB90，而|.ABC为直角三角形答案C2已知向量a(8，x，x)，b(x,1,2)，其中x0，若ab，则x的值为()A8 B4C2 D0解析因x8,2,0时都不满足ab，而x4时，a(8,2,4)2(4,1,2)2b，ab.故选B.另解：ab存在0使ab(8，x)(x，2)，故选B.答案B3已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)令x1，则y1，z1，n(1,1,1)单位法向量为：(，)答案D4已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得答案B5设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则a等于()A16 B4C2 D8解析(1，3,2)，(6，1,4)根据共面向量定理，设xy (x、yR)，则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.答案A6如图，在四边形ABCD中，|4，|4，|0，则(|)|的值为()A2 B2C4 D4解析根据0可知，ABDBDC90，则ABDC.又由|4和|4，可解得BD2，ABDC2.如图，延长AB，过C作COAB交AB延长线于点O.则有AOBDOC2，AOC为等腰直角三角形于是CAO45，AC2.所以()22cos454.答案C二、填空题7已知空间三点A、B、C坐标分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(2，4，2)，点P在xOy平面上且PAAB，PAAC，则P点坐标为_解析设p(x，y，z)则(x，y,2z)，(2,2，2)，(2，4，4)由已知得：解得：p(8,6,0)答案(8,6,0)8空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值是_解析由条件得，cos，0.答案09如图所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_解析以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PAm，BQx，则P(0,0，m)，Q(1，x,0)，D(0，a,0)，于是(1，x，m)，(1，ax,0)PQQD，0即1axx20x2ax10只有一个点Q满足PQQD方程x2ax10只有一个实根，即a240，a2(a0)答案210如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值等于_解析以D1A1、D1C1、D1D分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B(1,1,1)(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需(1,1，y)(x1,0,1)0xy1.答案1三、解答题11(2007山东)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E平面A1BD；(2)求二面角A1BDC1的余弦值方法一：(1)证明如图连接BE，则四边形DABE为正方形，BEADA1D1，且BEADA1D1，四边形A1D1EB为平行四边形D1EA1B.又D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，D1E平面A1BD.(2)解以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)，(1,0,2)，(1,1,0)设n(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，由n，n，得取z1，则n(2,2,1)又(0,2,2)，(1,1,0)设m(x1，y1，z1)为平面C1BD的一个法向量，由m，m，得取z11，则m(1，1,1)设m与n的夹角为，二面角A1BDC1为，coscos()cos ，即所求二面角A1BDC1的余弦值为.方法二：(1)证明以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DAa，由题意知D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0,2a,0)，C1(0,2a,2a)，A1(a,0,2a)，D1(0,0,2a)，E(0，a,0)(0，a，2a)，(0，a，2a)，又，D1EA1B.A1B平面A1BD，D1E平面A1BD，D1E平面A1BD.(2)解取DB的中点F，DC1的中点M，连接A1F、FM，由(1)及题意得知：F，M(0，a，a)，(a，a,0)(，2a)(a，a,0)0(a，a,0)0.FA1DB，FMDB.A1FM为所求二面角的平面角cosA1FM.二面角A1BDC1的余弦值为.12(2009湖南，18)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.(1)证明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值(1)证明如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA.所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1，(2)解解法一：如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC1，C1F，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质及D是A1B1的中点知，A1B1C1D，A1B1DF，又C1DDFD，所以A1B1平面C1DF，而ABA1B1，所以AB平面C1DF，又AB平面ABC1，故平面ABC1平面C1DF.过点D作DH垂直C1F于H点，则DH平面ABC1，连接AH，则HAD是直线AD和平面ABC1所成的角由已知ABAA1，不妨设AA1，则AB2，DF，DC1，C1F，AD，DH.所以sinHAD.即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.解法二：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，