数学二轮推理证明、复数、算法框图

用心 爱心 专心- 1 - 推理证明、复数、算法框图推理证明、复数、算法框图 【考纲解读考纲解读】 1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义 2.会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中 的作用 4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 6.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点 7.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点 ( (理科理科) )8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、 循环 10.理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含 义 【考点预测考点预测】 今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面： 1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一 个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。 2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中 的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合， 理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。 【要点梳理要点梳理】 1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、 小前提、结论）. 2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接 证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、 得出矛盾、肯定结论. 用心 爱心 专心- 2 - 3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。证明 时，特别注意第二步，要弄清式子的构成规律，充分利用题目中的条件和假设，适当变形。 4.复数:掌握复数的分类、复数相等、模、几何意义、复数的四则运算。 【考点在线考点在线】 考点一考点一 推理推理 例例 1.1. (2011(2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 7)7)观察下列各式： 5 5=3125， 6 5=15625， 7 5=78125，则 2011 5的末四位数字为( ) A3125 B5625 C0625 D8125 【答案答案】D 【解析解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为 125,故排除 B、C 选项;而 2011 53125 ,故 A 也不正确, 所以选 D. 【名师点睛名师点睛】本题考查合情推理中的归纳推理. 【备考提示备考提示】：推理分为合情推理与演绎推理,都是高考的重点内容之一,必须熟练其模式. 练习练习 1:(20111:(2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 15)15)设函数( )(0) 2 x f xx x ,观察: 1( ) ( ), 2 x f xf x x 21 ( )( ), 34 x fxf f x x 32 ( )( ), 78 x fxf fx x 43 ( )( ), 1516 x fxf fx x 根据以上事实，由归纳推理可得： 当nN 且2n 时， 1 ( )( ) nn fxf fx . 【答案答案】 (21)2 nn x x 【解析解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516xxxx,即 (2 1)2,(4 1)4,(8 1)8,(16 1)16xxxx,所以归纳出分母为 1 ( )( ) nn fxf fx 的 用心 爱心 专心- 3 - 分母为(21)2 nn x,故当nN 且2n 时， 1 ( )( ) nn fxf fx (21)2 nn x x . 考点二考点二 间接证明与直接证明间接证明与直接证明 例例 2.2. (2011(2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 19)19) （）设1,1,xy证明 111 xyxy xyxy ， （）1abc，证明loglogloglogloglog abcbca bcaabc. 【证明】()由于1,1xy，所以 要证明： 111 xyxy xyxy 只要证明： 2 () 1()xy xyyxxy 只要证明： 2 ()1 ()()0 xyxyxy xy 只要证明：(1)(1)0 xyxyxy 只要证明：(1)(1)(1)0 xyxy 由于1,1xy，上式显然成立，所以原命题成立。 （）设logabx，logbcy，由换底公式得 log1 log log b c b a a cxy ， 1 logba x ， 1 logcb y ，logacxy，故 要证：loglogloglogloglog abcbca bcaabc 只要证明： 111 xyxy xyxy ，其中log1 a xb，log1 b yc 由()知所要证明的不等式成立。 【名师点睛名师点睛】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考 查代数式恒定变形能力和推理论证能力,用的分析法证明的。第二问的处理很有艺术性，借 助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对 后面问题解决常常有提示作用。 【备考提示备考提示】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法 用心 爱心 专心- 4 - 不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。 练习练习 2:(20112:(2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 20)20)设0,b 数列 n a满足 1 1 1 = ,(2) 22 n n n nba ab an an , (1) 求数列 n a的通项公式；(2)证明：对于一切正整数 n, 1 1 1 2 n n n b a . 【解析解析】 （1）由 1 1 11 121 0,0,. 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 , n n n AA ab ， 当 1 12 2, nn nAA bb 时 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 . nn nn bbbb 当2b 时， 12 (1) 2 , 2 (2) 1 n nn n n bbb A bb b 当2,. 2 n n bA时 (2) ,2 2 2,2 n nn n nbb b a b b （2）当2b 时， （欲证 11 11 (2)2 1,(1) 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证） 1111121 2 (2)(2)(22) 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2() 222 nnn nn nnn bbb b bbb 用心 爱心 专心- 5 - 1 2(222)222 nnnnnn bnbnb ， 1 1 (2) 1. 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2,21. 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1. 2 n n n b a ( (理科理科) )考点三考点三 数学归纳法数学归纳法 例例 3.(20113.(2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 22)22)已知函数 , 3 xxf . xxxg 求函数 xgxfxh的零点个数，并说明理由； 设数列 * Nnan满足 ,0 11nn agafaaa 证明：存在常数,M 使得对于任意的, * Nn都有.Man 【解析解析】由 xxxxh 3 知，, 0 x，而 , 00 h且011h， 0262h，则0x为 xh的一个零点，且 xh在 2 , 1内由零点， 因此 xh至少有两个零点.由 2 1 2 1xxxxh ，记 ,1 2 1 2 xxx则 , 2 1 2 2 3 xxx当, 0 x时， , 0 x 因此 x在, 0上单调递增，则 x在, 0上至多有一个零点，从而 xh在, 0上至多有一个零点. 综上所述， xh有且只有两个零点. 记 xh的正零点为 0 x，即 00 3 0 xxx （1）当 0 xa 时，由aa 1 得 01 xa ，而 3 00011 2 2 xxxaaa，因此 02 xa . 由此猜测： 0 xan.下面用数学归纳法证明. 当1n时， 01 xa 显然成立， 用心 爱心 专心- 6 - 假设当1kkn时， 0 xak成立，则当1 kn时，由 3 000 3 1 xxxaaa kkk 知 01 xak 因此，当1 kn时， 01 xak 成立 故对任意的, * Nn 0 xan成立 （2）当 0 xa 时，由知 xh在, 0 x上单调递增，则 0 0 xhah， 即aaa 3 ，从而 3 11 2 2 aaaaaa，即aa 2 . 由此猜测：aan，下面用数学归纳法证明. 当1n时，aa 1 显然成立， 假设当1kkn时，aak成立，则当1 kn时，由 3 3 1 aaaaaa kkk 知aak 1 因此，当1 kn时，aak 1 成立 故对任意的, * Nnaan成立 综上所述，存在常数 ,max , 0a xM 使得对于任意的, * Nn都有.Man 【名师点睛名师点睛】本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、 放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能 力. 【备考提示备考提示】：数学归纳法是理科考查的内容之一，要熟练其证明模式，特别是在步骤以及 容易出错的地方加以注意。 练习练习 3 3：（：（20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 2323）已知ABC 的三边长都是有理数。 （1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 【解析解析】 （方法一） （1）证明：设三边长分别为, ,a b c， 222 cos 2 bca A bc ，, ,a b c是有理 数， 222 bca是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， 222 2 bca bc 必为有理数，cosA 是有理数。 （2）当1n 时，显然 cosA 是有理数； 用心 爱心 专心- 7 - 当2n 时， 2 cos22cos1AA，因为 cosA 是有理数， cos2A也是有理数； 假设当(2)nk k时，结论成立，即 coskA、cos(1)kA均是有理数。 当1nk时，cos(1)coscossinsinkAkAAkAA， 1 cos(1)coscoscos()cos() 2 kAkAAkAAkAA， 11 cos(1)coscoscos(1)cos(1) 22 kAkAAkAkA， 解得：cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkA cosA，coskA，cos(1)kA均是有理数，2coscoscos(1)kAAkA是有理数， cos(1)kA是有理数。 即当1nk时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。 （方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 222 cos 2 ABACBC A AB AC 是有理数。 （2）用数学归纳法证明 cosnA 和sinsinAnA都是有理数。 当1n 时，由（1）知cos A是有理数，从而有 2 sinsin1 cosAAA 也是有理数。 假设当(1)nk k时，coskA和sinsinAkA都是有理数。 当1nk时，由cos(1)coscossinsinkAAkAAkA， sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin ) cos(sinsin) cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA， 及和归纳假设，知cos(1)kA和sinsin(1)AkA都是有理数。 即当1nk时，结论成立。 综合、可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 考点四考点四 复数复数 例例 4.4. (2011(2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 1)1)设 i是虚数单位，复数 ai i 为纯虚数，则实数 a 为( ) （A）2 (B) 2 (C) (D) 【答案答案】A. 用心 爱心 专心- 8 - 【解析解析】设() ai bi bR i =，则1+(2)2aibiibbi，所以1,2ba.故选 A. 【名师点睛名师点睛】本题考查复数的基本运算，属简单题. 【备考提示备考提示】：复数是高考的热点内容，年年必考，以选择或填空题的形式出现，主要考查 复数的概念、复数相等、几何意义以及复数的四则运算，熟练基础知识是解决本类问题的关 键. 练习练习 4 4：(2011(2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 2)2)复数 z= 2 2 i i (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象 限为（ ） （A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案答案】D 【解析解析】因为 2 2(2)34 255 iii z i ,故复数 z 对应点在第四象限,选 D. 考点五考点五 算法框图算法框图 例例 5.5. (2011(2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 3)3)执行右面的程序框图，如果输 用心 爱心 专心- 9 - 入的 N 是 6，那么输出的是（ ） A 120 B 720 C 1440 D5040 【答案答案】B 【解析解析】按照算法的程序化思想，有程序框图执行下面的计算可得： 720, 6 ;120, 5 ;24, 4 ; 6, 3 ; 2, 2 ; 1, 1 pk pk pk pk pk pk ， 此时，按终止条件结束，输出720p。 【名师点睛名师点睛】本题考查算法的程序化思想、算法框图的结构、功能、逻辑思维能力和运算能 力。注意理解和把握。 【备考提示备考提示】：框图仍然是高考的一个热点，在高考中，一个般一个选择或填空题，难度不 大，大多与数列或不等式等知识结合起来命题，故熟练其基础知识是解决本类问题的关键. 练习练习 5 5：(2011(2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 6)6)执行右面的程序框图，如果输入的 n 是 4，则输出的 P 是（ ） (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2 【答案答案】C 【解析解析】第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2; 用心 爱心 专心- 10 - 第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3; 第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出 p 的值 4. 【考题回放考题回放】 1. (2011(2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 1)1) i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 1 3 1 i i =（ ） A.A.2i B.B. 2i C.C.1 2i D.D. 12i 【答案】A 【解析】因为 1 3(1 3 )(1) 2 12 iii i i ，故选 A. 2.(2011(2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 2)2)把复数z的共轭复数记作z，若1zi ，i为虚数单位，则 (1) z z=（ ） （A）3i （B）3i （C）1 3i（D）3 【答案】 A 【解析】(1)1(1)(1)123z zzzziiiii 故选 A 3 3(2011(2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 1)1)设复数 z 满足(1+i)z=2，其中 i 为虚数单位，则 Z=（ ） A1+i B1-i C2+2i D2-2i 【答案】B 【解析】由题得ii i z 1)1 ( 2 2 1 2 所以选 B. 4.(20114.(2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 1)1)a 为正实数，i 为虚数单位，2 ai i ，则 a=（ ） （A）2 （B）3 (C)2 (D)1 【答案】B 【解析】 2 |1|12 ai aia i ,a0,故 a=3. 5. (2011(2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 1)1)复数 i i 21 2 的共轭复数是（ ） Ai 5 3 B i 5 3 Ci Di; 【答案】C 【解析】因为 i i 21 2 =i i ii 21 )21 ( ，所以，共轭复数为i，选 C。 用心 爱心 专心- 11 - 6.(20116.(2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 1)1)若 i z i ，则复数z （ ） A. i B. i C. i D. i 【答案】D 【解析】因为 i z i =()()iii ，所以复数z i,选 D. 7(2011(2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 1)1)i 为虚数单位，则 2011 1 () 1 i i =（ ） A.iB.1C.iD.1 【答案】A 【解析】因为 1 1 i i i ,故 201120112505 1 ()( ), 1 i iiii i 所以选 A. 8(2011(2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 7)7)设集合 22 |cossin|,My yxxxR， 1 |2,Nxx i ixR为虚数单位，则MN为（ ） （A）(0,1) （B）(0,1 （C）0,1) （D）0,1 【答案】C 【解析】：由 22 |cossin| |cos2 | 0,1yxxx即M 0,1 由 1 |2x i 得 2 |1211xixx 即N ( 1,1)0,1)MN 故选 C。 9.(2011(2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 1)1)复数 234 1 iii i （ ） （A） 11 22 i (B) 11 22 i (C) 11 22 i (D) 11 22 i 【答案】B 【解析】 234 1111 11112 iiiiiii iiii 。 10(2011(2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 2)2)复数 1 i i =( ) (A)2i （B） 1 2 i （C）0 （D）2i 【答案】A 用心 爱心 专心- 12 - 【解析】 1 2 .iiii i 11.(2011(2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 1)1)复数1zi ，z为z的共轭复数， 则1zzz （ ） （A）2i （B）i （C）i （D）2i 【答案】B 【解析】z 1 i，1zzz (1) i(1) i-(1) 1i=1+1-1-i-1=i ， 故选 B 12.(2011(2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 8)8)右图中， 123 ,x x x为某次考试三个评阅人对 同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当 12 6,9xx，8.5p 时 3 x等于（ ） （A）11 （B）10 （C）8 （D）7 【答案】C 【解析】： 12 | |69| 32xx,由8.5p 得，故选 C。 13. (2011(2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 13)13)下图是某算法的程序框图， 则程序运行后输出的结果是 。 【答案】10 用心 爱心 专心- 13 - 【解析】当 n=1 时,计算出的0s ;当 n=2 时,计算出的3s ;当 n=3 时,计算出的5s ;当 n=4 时,计算出的109s ,此时输出 s=10. 14(2011(2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 13)13)观察下列等式 照此规律，第n个等式为 【答案】 2 (1)(2)(32)(21)nnnnn 【解析】：第n个等式是首项为n，公差 1，项数为21n的等差数列，即 (1)(2)(32)nnnn 2 (21)(21 1) (21)1(21) 2 nn nnn 15.(2011(2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 15)15)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点 ( , )x y为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）. 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点 直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 【答案】 【解析】正确，令 1 2 yx满足；错误，若2,2kb，22yx过整点 （1,0） ；正确，设ykx是过原点的直线，若此直线过两个整点 1122 ( ,),(,)x yxy，则有 11 ykx， 22 ykx，两式相减得 1212 ()yyk xx，则点 1212 (,)xxyy也在直线 ykx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移ykx得对于 ykxb也成立；错误，当k与b都是有理数时，令 1 2 yx显然不过任何整点；正 确. 如：直线2yx恰过一个整点 16. (2011(2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 16)16)对于 Nn，将n表示为 用心 爱心 专心- 14 - 01 1 2 2 1 10 22222 kk kkk aaaaan，当0i时， 1 i a，当ki 1时， i a为0或1.记 nI为上述表示中 i a为0的个数（例如： 0 211， 012 2020214，故01 I， 24 I） ，则（1） 12I ；（2） 127 1 2 n nI . 【答案】 12I2; 127 1 2 n nI 1093 【解析】 （1）由题意知 0123 2020212112，所以 12I2； （2）通过例举可知：01 I， 12 I， 24 I， 38 I， 416 I， 532 I， 664 I，7128 I，且相邻之间的整数的个数有 0，1，3，7，15，31，63.它们正好满 足“杨辉三角”中的规律：从而 210 127 1 2)1510631 (2) 654321 (2) 1111111 (2 n nI 1093212 ) 6 1 (2)1551 (2)201041 ( 6543 . 17.(2011(2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 20)20)设数列 n a满足 1 0a 且 1 11 1. 11 nn aa （）求 n a的通项公式；（）设 1 1 1 ,1. n n nnkn k a bbS n 记S证明： 【解析】 （）由 1 11 1. 11 nn aa 得 1 1 n a 为等差数列， 前项为 1 11 1,1,1 (1) 1 11 n dnn aa 于是， 11 1,1 nn aa nn （） 1 1 1 11 1n n n a n b nn 111 11 nn nnnn 1 111111 ()()() 12231 n nk k Sb nn 1 11 1n 用心 爱心 专心- 15 - 18(2011(2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 20)20)若数列 12, ,.,(2) nn Aa aa n满足 11 1(1,2,.,1) n aakn ，数列 n A为E数列，记() n S A= 12 . n aaa （）写出一个满足 1 0 s aa，且() s S A0 的E数列 n A； （）若 1 12a ，n=2000，证明：E 数列 n A是递增数列的充要条件是 n a=2011； （）对任意给定的整数 n（n2） ，是否存在首项为 0 的 E 数列 n A，使得 n S A=0？ 如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 n A；如果不存在，说明理由。 【解析】 （）0，1，2，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5） （）必要性：因为 E 数列 A5是递增数列， 所以)1999, 2 , 1( 1 1 kaa kk . 所以 A5是首项为 12，公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+（20001）1=2011. 充分性，由于 a2000a10001， a2000a10001 a2a11 所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999. 又因为 a1=12，a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 nnn Akaa即),1999, 2 , 1(01 1 是递增数列. 综上，结论得证。 （）令 . 1 ),1, 2 , 1(01 1 Akkk cnkaac则 因为 2111112 ccaacaa , 1211 nn cccaa 所以 13211 )3()2() 1()( nn ccncncnnaAS 用心 爱心 专心- 16 - ).1 ()2)(1 () 1)(1( 2 ) 1( 121 n cncnc nn 因为).1, 1(1, 1nkcc kk 为偶数所以 所以)1 ()2)(1 () 1)(1* 21n cncnc为偶数, 所以要使 2 ) 1( , 0)( nn AS n 必须使为偶数, 即 4 整除*)( 144),1(Nmmnmnnn或亦即. 当, 1, 0,*)( 14 241414 kkkn aaaAENmmn的项满足数列时1 4 k a ), 2 , 1(mk时，有; 0)(, 0 1 n ASa ; 0)(, 0,0), 2 , 1( 1 1144 nkk ASaamka有时 当 n AENmmn数列时,*)( 14的项满足， , 1, 0 243314 kkk aaa 当) 1(,)(3424mnNmmnmn时或不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An， 使得 . 0 )(, 0 1 n ASa 【高考冲策演练高考冲策演练】 一、选择题：一、选择题： 1.（20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 2 2）已知 2 ( , ) ai bi a b i 2ai bi i （a,bR） ，其中 i 为 虚数单位，则 a+b=（ ） (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由 a+2i =b+i i 得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选 B. 2 （ 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 1 1）复数 32 23 i i （ ） (A)i (B)i (C)12-13i (D) 12+13i 【答案】A 【解析】 32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13 iiiii i iii . 用心 爱心 专心- 17 - 3 （20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 9 9）对于复数a,b,c,d,若集合S= a,b,c,d具有性质“对任意 x,yS,必有xyS”,则当 2 2 a=1 b =1 c =b 时,b+c+d等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.i 【答案】B 【解析】由题意，可取a=1,b=-1,c=i,d=-i，所以b+c+d=-1+i+-i1 ，选 B。 4 （20102010 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 1 1）i是虚数单位， 33 i i （ ） A、 13 412 iB、 13 412 iC、 13 26 iD、 13 26 i 【答案】B 【解析】 ( 33 )3313 391241233 iiii i i ，选 B. 5.(2010(2010 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 1)1)i 是虚数单位，复数 1 3 12 i i =（ ） （A）1+i （B）5+5i （C）-5-5i （D）-1-i 【答案】A 【解析】 1 3 12 i i ( 1 3 )(1 2 ) 5 ii 55 1 5 i i ，故选 A。 6 （20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 2 2）若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1z2=（ ） A4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 【答案】A 【解析】 12 (1) (3)1 3 1 1 (3 1)42zziiii 。 7 （20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 1 1）i是虚数单位，计算ii2i3（ ） （A）1 （B）1 （C）i （D）i 【答案】A 【解析】由复数性质知：i21，故ii2i3i(1)(i)1。 8. (2010(2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 2 2）已知复数 2 3 (13 ) i z i ，z是 z 的共轭复数，则zz=（ 用心 爱心 专心- 18 - ） A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 【答案】A 【解析】 2 333( 3)( 22 3 )31 44(13 )1 2 3322 3( 22 3 )( 22 3 ) iiiii zi iiiii ， 所以 22 311 ()( ) 444 z z 9 （20092009 年高考浙江卷理科第年高考浙江卷理科第 6 6 题）题）某程序框图如图所示， 该程序运行后输出的 k 的值是（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 w.w.w.c.o.m 【答案】A 【解析】对于0,1,1ksk ，而对于1,3,2ksk， 则2,38,3ksk，后面是 11 3,382 ,4ksk ， 不符合条件时输出的4k 10. （20092009 年高考福建卷理科第年高考福建卷理科第 6 6 题）题）阅读右图所示的程序框图， 运行相应的程序，输出的结果是（ ） A2 B .4 C. 8 用心 爱心 专心- 19 - D .16 【答案】：C 【解析】由算法程序图可知，在 n =4 前均执行”否”命令，故 n=24=8. 故选 C 11 （20092009 年高考天津卷理科第年高考天津卷理科第 5 5 题）题）阅读右图的程序框图， 则输出的 S=（ ） A 26 B 35 C 40 D 57 【答案】C 12( (安徽省淮南市安徽省淮南市 20112011 届高三第一次模拟考试文科届高三第一次模拟考试文科) )若将复数 i i 1 1 表示为bia （ Rba,，i是虚数单位）的形式，则ba （ ） A1 B0 C1 D2 【答案】C 【解析】 12 12 ii i i ，则1.ab 二填空题：二填空题： 13 （20102010 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 9 9）在复平面内，复数 2 1 i i 对应的点的坐标为 。 【答案】 （-1，1） 【解析】因为= 2 (1) 1 2 ii i ，故复数 2 1 i i 对应的点的坐标为（-1，1） 。 用心 爱心 专心- 20 - 14 （20102010 年高考上海市理科年高考上海市理科 2 2）若复数1 2zi （i为虚数单位） ，则z zz 。 【答案】6-2i 【解析】因为12zi ,所以14 1 2z zzi 6-2i. 15.(201015.(2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 11)11) 已知复数1zi ，则 2 z z_ 【答案】-2i 【解析】iiii i 2111 1 2 . 1616(2011(2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 4)4)根据如图所示的伪代码，当输入ba,分别为 2，3 时，最后输 出的 m 的值是_。 Read a，b If ab Then ma Else mb End If Print m 【答案】3 【解析】因为输入ba,分别为 2，3,所以ab,故 m=3. 三解答题：三解答题： 17(2011(2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 19)19)（12 分）已知复数 1 z满足 1 (2)(1)1zii （i为虚数单 位） ，复数 2 z的虚部为2， 12 zz是实数，求 2 z。 【解析】 1 (2)(1)1zii 1 2zi（4 分） 设 2 2 ,zai aR，则 1 2 (2)(2 )(22)(4)z zi aiaa i，（12 分） 1 2 z zR， 2 42zi （12 分） 18.18. ( (上海市普陀区上海市普陀区 20112011 年年 4 4 月高三质量调研月高三质量调研) )已知复数w满足4(32 )ww i（i为虚数 用心 爱心 专心- 21 - 单位） ，复数 5 |2|zw w ，试确定一个以z为根的实系数一元二次方程. 【解析】因为 (12i)43iw，得 43i 2i 12i w ， 所以 5 |i|3i 2i z . 若实系数一元二次方程有虚根i3z，则必有共轭虚根i3z， 因为6zz，10z z， 故所求的一个一元二次方程可以是 2 6100 xx. 19.19. ( (北京市西城区北京市西城区 20112011 年高三一模试题文科年高三一模试题文科) )将n, 3 , 2 , 1这n个数随机排成一列，得到的 一列数 n aaa, 21 称为n, 3 , 2 , 1的一个排列. 定义),( 21n aaa| 13221nn aaaaaa 为排列 n aaa, 21 的波 动强度. （）当3n时，写出排列 321 ,aaa的所有可能情况及所对应的波动强度； （）当10n时，求 1210 (,)a aa的最大值，并指出所对应的一个排列； （）当10n时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整 时波动强度不增加，问对任意排列 1210 ,a aa，是否一定可以经过有限次调整使其波动强 度降为 9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明. 【解析】 （）3n时，排列 321 ,aaa的所有可能为1,2,3； 1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1.2 分 2)3 , 2 , 1 (；3)2 , 3 , 1 (；3)3 , 1 , 2(； 3) 1 , 3 , 2(；3)2 , 1 , 3(；2) 1 , 2 , 3(. 4 分 （） 1210 (,)a aa 1223910 |aaaaaa 上式转化为 1223910 aaaaaa， 在上述18个中，有9个选正号，9个选负号，其中 110 ,a a出现一次， 239 ,a aa各 出现两次. 6 分 所以 1210 (,)a aa可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式， 若使 1210 (,)a aa最大，应使第一个和最大，第二个和最小. 所以 1210 (,)a aa最大为： 用心 爱心 专心- 22 - (10 109988776)(1 12233445)49 . 8 分 所对应的一个排列为：5,7 ,1,8,2,9,3,10,4,6.（其他正确的排列同等给分） 9 分 （）不可以. 例如排列10,9,8,7 ,1,2,3,4,5,6，除调整1,2外，其它调整都将使波动强度增加， 调整1,2波动强度不变. 11 分 所以只能将排列10,9,8,7 ,1,2,3,4,5,6调整为排列10,9,8,7 ,2,1,3,4,5,6. 对于排列10,9,8,7 ,2,1,3,4,5,6，仍然是除调整2,1外，其它调整都将使波动强度 增加，所以仍只能调整1,2两个数字. 如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9. 13 分 20( (北京市怀柔区北京市怀柔区 20112011 年年 3 3 月高三第二学期适应性练习理科月高三第二学期适应性练习理科) )已知集合 , 321n aaaaA，其中)2,1 (nniRai，)(Al表示和 )1 (njiaa ji 中所有不同值的个数 （）设集合8 , 6 , 4 , 2P，16, 8 , 4 , 2Q，分别求)(Pl和)(Ql； （）若集合2 , 8 ,