数学一轮几何证明选讲第1讲　平行截割定理与相似三角形教案理新人教选修41

第一讲平行切割定理和类似的三角形:这是2013年NMET奥运会的举办方式检验相似三角形的判定，性质定理的应用和直角三角形射影定理的应用。评论指南复习这堂课时，只要你很好地掌握了教材的内容，并且精通教材中的练习，你就能满足高考的要求。复习的这一部分侧重于基础知识和方法，你可以掌握解决问题的基本技能。基本梳理1.平行切割定理(1)平分平行线定理及其推论(1)定理：如果在一条直线上切割的一组平行线是相等的，那么在任何直线上切割的线段(与该组平行线相交)也是相等的。(2)推论：一条直线穿过一个梯形腰部的中点并平行于底部，将另一个腰部一分为二。(2)平行切割定理及其推论(1)定理：两条直线与一组平行线相交，并且它们与被该组平行线切割的相应线段成比例。(2)推论：平行于三角形一边的直线切割其他两条边(或两边的延长线)，切割的三角形与原三角形的相应边成比例。(3)三角角平分线的性质分成两段的三角形内角平分线的长度比等于夹角两边的长度比。(4)梯形中线定理梯形中线平行于两个基点，等于两个基点之和的一半。2.相似三角形(1)相似三角形的确定(1)判断定理两个角相同的两个三角形是相似的。两条边成比例、夹角相等的三角形是相似的。三条边对应比例的两个三角形是相似的。(2)推论：由平行于三角形的一边与另一边相交的直线形成的三角形与原始三角形相似。(3)直角三角形相似性的特殊判断斜边与直角边成比例的两个直角三角形是相似的。(2)相似三角形的性质相似三角形对应线段的比值等于相似比，面积比等于相似比的平方。(3)直角三角形的射影定理直角三角形直角边的平方等于直角边在斜边上的投影与斜边的乘积，斜边上高度的平方等于直角边在斜边上的投影的乘积。双基自测1.如图所示，已知A B C和直线M和N分别在点A、B、C和A、B、C处与A、B和C相交。如果AB=BC=1，A B=，B C=_ _ _ _ _ _。通过分析平行线平分线段的定理，可以直接得到答案。回答2.如图所示，BD和CE是ABC的高度，BD和CE与F相交，所有与图中ACE相似的三角形都写成_ _ _ _ _ _。分析表明，RtACE、RtFCD和RtABD各有一个锐角，所以它们是相似的，而且 BFE= A容易知道，所以RtACERtFBE。答案FCD、FBE、阿卜德3.(Xi AN模拟2011)如图所示，在ABC中，m和n分别是AB和BC的中点，AN和CM相交于点o，则MON与AOC面积之比为_ _ _ _ _ _。分析：M和n分别是AB和BC的中点，MONCOA,=.回答1: 44.如图所示，如果已知边界条件边界条件和边界条件：边界条件=3: 2，则边界条件：边界条件=_ _ _ _，边界条件：边界条件=_ _ _ _。解析德 BC，=。BFEF=32,=.ACAE=32.同样，德BC产生ab: ad=3: 2，即=。即=2。那就是=2。广告：BD=2: 1。回答3: 22: 15.(2010广东)如图所示，在直角梯形ABCD中，DCAB、CB AB、AB=AD=A、CD=、e点和f点分别是线段ab和AD的中点，则EF=_ _ _ _ _ _ _。解析连接DE和BD，根据题目，EBDC，EB=DC=， EBCD是平行四边形，87Cb AB，8756de AB，而e是AB的中点，所以AD=DB=A，8756EF=DB=A。回答测向平行切割定理的应用例1 (2011广州试验(二)在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=5，点E和F分别在AB和CD上，EFAD，if=，EF的长度为_ _ _ _ _ _。检验观点梯形腰BA和CD分别在一点上延伸，可以用平行度求解=，=，=，=，=。adef，=，ad=2， ef=。回答解决问题时应注意增加辅助线。培训1如图所示，在ABC，DEBC，EFCD中，如果BC=3，DE=2，DF=1，AB的长度为_ _ _ _ _ _。该分析由=和df=1组成，因此可以获得af=2、 ad=3。再次=， ab=。回答高象2相似三角形的判定及其应用众所周知，如图所示，在AB=AC，AB=AC，BDAC，点d是垂直脚。核实：BC2=2发援会。检验观点作为AEBC，足以证明AEC和BDC是相似的。证明了a点是AEBC，垂直脚是e，ce=be=BC，作者：aebc. bdac还有c=c， AEC BDC。=,=，BC2=2CDAC。要判断两个三角形的相似性，应注意结合图形的特点灵活选择判断定理。在一个主题中，相似三角形的判断定理和性质定理可能被多次使用。培训2(2011年惠州调查)如图所示，在作业成本法、作业成本法、作业成本法、作业成本法中，作业成本法=3: 5，作业成本法=6，然后作业成本法=_ _ _ _ _ _ _。因为，等于，等于，等于，等于。所以四边形DECF是一个平行四边形，所以BF=BC-fc=BC-de=10-6=4。回答4射影定理在三个直角三角形中的应用例3已知圆的直径ab是13，c是圆上的点。如果c在d中用作cdab(ad BD)，如果CD=6，ad=_ _ _ _ _ _ _。考点 ACB是一个直角三角形，可以用射影定理直接求解。分析图显示，连接AC、CB和ab的直径为o，ACB=90设置ad=x，cd ab at d，Cd2=来自射影定理的ADDB，即62=x (13-x)， x2-13x 36=0，x1=4，x2=9。ADBD,AD=9.答案9注意射影定理的应用条件。培训3 In ABC， ACB=90，CD AB=D，AD: BD=2: 3。那么ACD和CBD的相似比是_ _ _ _ _ _。分析，例如如图所示，在RtACB中，CDAB，源自射影定理：CD2=ADBD，ad: BD=2: 3，ad=2倍。BD=3x(x0)，CD2=6x2,CD=x.同样 ADC= BDC=90， ACD CBD。很容易知道ACD和CBD=之间的相似比。相似比是：3。回答：3高考几何证明的选择(一)从近两年新课程标准的试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行切割定理和相似三角形判断定理的应用，这并不难。例1(陕西，2011)如图所示，b=B=D，AEBC，ACD