数学一轮92课时作业

一、选择题1抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()Ax3x1x2Bx1x2x1x3x2x3Cx1x2x30 Dx1x2x2x3x3x10答案B解析由方程组得ax2kxb0，可知x1x2，x1x2，x3，代入各项验证即可得B正确，故选B.2已知A，B，C三点在曲线y上，其横坐标依次为1，m,4(1m0)上一定点M(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则等于()A2 B2C4 D4答案A解析kMA(y0y1)，同理：kMB.由题意：kMAkMB，y1y0(y2y0)，y1y22y0，2，故选A.4(2011福州质检)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A5 B8C.1 D.2答案C解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.二、填空题5已知点M是抛物线y24x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x4)2(y1)21上，则|MA|MF|的最小值为_答案4解析依题意得|MA|MF|(|MC|1)|MF|(|MC|MF|)1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x1的距离，结合图形不难得知，|MC|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.6若抛物线y24x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y24x(y0)上，则PAB的面积的最小值为_答案2解析由题意，得F(1,0)，直线AB的方程为yx1.由，得x26x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，x1x21，|AB|8.设P(，y0)，则点P到直线AB的距离为，PAB的面积S2，即PAB的面积的最小值是2.三、解答题7(2011北京东城区期末)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是1.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求PAB面积的最大值解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意，得解得a24，b22.所以椭圆C的方程为1.(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，)，则直线PB的方程为yk(x1)由得(2k2)x22k(k)x(k)240.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xB1xB，同理可得xA.则xAxB，yAyBk(xA1)k(xB1).所以kAB为定值(3)由(2)，设直线AB的方程为yxm.由得4x22mxm240.由(2m)216(m24)0，得m28.此时xAxB，xAxB.点P到直线AB的距离d，|AB| .SPABd|AB| 当且仅当m28m2即m24时，Smax.8已知定点C(1,0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由分析分斜率存在和不存在两种情况讨论，假设存在，那么数量积应该与直线的方向无关解析假设在x轴上存在点M(m,0)，使为常数设A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.则所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.整理得m2m2m22m.注意到是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时.当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A(1，)、B(1，)，当m时，亦有.综上，在x轴上存在定点M(，0)，使为常数9(2010北京卷，文)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)、(，0)，离心率是.直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直线作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值解析(1)因为，且c，所以a，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知P(0，t)(1t1)由得x.所以圆P的半径为.当圆P与x轴相切时，|t|.解得t所以点P的坐标是(0