数学一轮第9章A《直线、平面、简单几何体》自测题

第九章(A)直线、平面、简单几何体名师检测题时间：120分钟分值：150分第卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1过空间一点与已知平面垂直的直线有()A0条B1条C0条或1条 D无数条解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与已知平面垂直的直线只有1条，故选B.答案：B2已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“ ”是“m ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面、垂直时，内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面，充分性不成立答案：B3设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析：因为只有过m及m在平面内的射影的平面是过m且垂直于平面的平面，因此B正确，选择B.答案：B4已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面、，则下列命题中，其逆否命题不成立的是()A当m，n时，若mn，则B当b时，若b，则C当，m，n，若nm，则nD当m，且n时，若n，则mn解析：根据原命题与逆否命题的真假性相同，只需判断原命题的真假即可由面面垂直、平行的性质定理或判定定理等很容易判断出A、B、C都是正确的，而在答案D中，m与n显然可以异面故选D.答案：D5正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：取CD的中点N，连结NB、ND1，则易知NBDM，NBD1(或其补角)就是异面直线DM与D1B所成的角不妨设正方体的棱长为1，则D1NNB .又D1B，故在NBD1中，cosNBD1.故选B.答案：B6如果对于空间任意n(n2)条直线总存在一个平面，使得这n条直线与平面所成的角均相等，那么这样的n()A最大值为3 B最大值为4C最大值为5 D不存在最大值解析：若n4，显然此时对于空间的任意四条直线不都存在这样的平面，因此结合各选项知B、C不正确；对于空间任意3条直线，总存在一个平面，使得这n条直线与平面所成的角均相等，选A.答案：A7.如图，在棱长均为2的正四棱锥PABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是()ABE平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为BBE平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为CBE不平行于平面PAD，且BE与平面PAD所成的角大于30DBE不平行于平面PAD，且BE与平面PAD所成的角小于30解析：取PD的中点F，连结EF，AF，则有EFCD，且EFCD，又ABCD，ABCD，因此有EFAB，EFAB，四边形ABEF为梯形，直线BE与AF必相交，直线BE与平面PAD不平行注意到BE与BC的夹角为30，因此直线BE与AD的夹角为30，由最小角原理可知，直线BE与平面PAD所成的角小于30，选D.答案：D8已知三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，PAPB2PC2a，且三棱锥外接球的表面积为S9，则实数a的值为()A1 B2C. D.解析：如图，将三棱锥PABC嵌入长方体中，则长方体的体对角线BD为三棱锥外接球的直径，由此得三棱锥外接球的表面积为S42(PB2PD2)(2a)2(a)29.a1，故选A.答案：A9.如图，C90，ACBC，M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将BMN折起，使二面角BMNB的大小为60，则斜线BA与平面ABC所成角的正切值为()A. B.C. D.解析：设ACBC2a，由已知得MNCM，BMMN，MN平面BCM，BMB60，BMMNa.作BECB于点E，连结AE，则有MNBE，BECE，BE平面ABC，BAE是直线BA与平面ABC所成的角在RtBAE中，BEBMsin60a，EMBMcos60，AE ，所以tanBAE，选B.答案：B10.如图，在棱长为4的正方体ABCDABCD中，E、F分别是AD、AD的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角AADB所围成的几何体的体积为()A. B.C. D.解析：依题意可知|FP|MN|1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是，选C.答案：C11一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的高是()A. B.C1 D.解析：由题知三棱锥的高为球的半径，故选C.答案：C12球O与锐二面角l的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为()A. B4C12 D36解析：设球O与平面、分别相切于点P、Q，过点O作ORl于点R，连结PR、QR、PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如图所示，则有OPPR、OQQR，故O、P、R、Q四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得2，sinPRQ.又二面角l为锐二面角，PRQ60，PRO30，OP1，即球的半径为1，球O的表面积S4R24，故选B.答案：B第卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13下列命题：如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；平行于同一平面的两个不同平面相互平行；垂直于同一直线的两个不同平面相互平行其中的真命题是_(把正确的命题序号全部填在横线上)解析：对于，相应的两个平面可能相交，因此不正确；对于，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此不正确；对于，显然正确答案：14.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有_个解析：将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错答案：215如图，将B，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角BACD，若，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：ACMN；DM与平面ABC所成的角是；线段MN的最大值是，最小值是；当时，BC与AD所成的角等于.其中正确的说法有_(填上所有正确说法的序号)解析：如图，ACBM，ACMDAC平面BMD，所以ACMN，正确；因为，且线与面所成角的范围为0，所以DM与平面ABC所成的角不一定是，错；BMDM，MNBD，BMD，所以MNBMcoscos，所以线段MN的最大值是，最小值是，正确；当时，过C作CEAD，连结DE，且DEAC，则BCE(或其补角)即为两直线的夹角，BMDM，BMDM，BD2，又DEAC，则DE平面BDM，DEBD，BE21，cosBCE0，所以错答案：16设A、B、C是球面上三点，线段AB2，若球心到平面ABC的距离的最大值为，则球的表面积等于_解析：ABC所在截面圆的直径为2rAB2时，球心到平面ABC的距离最大，此时球半径R2，S球4R216.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，长方体AC1中，AB2，BCAA11.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点(1)试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH平面FGB1；(2)求四面体EFGB1的体积解析：(1)取A1D1的中点P，D1P的中点H，连结DP、EH，则DPB1G，EHDP，EHB1G，又B1G平面FGB1，EH平面FGB1.即H在A1D1上，且HD1A1D1时，EH平面FGB1.(2)EH平面FGB1，VEFGB1VHFGB1，而VHFGB1VGHFB11SHFB1，SHFB1S梯形B1C1D1HSB1C1FSD1HF，V四面体EFGB1VEFGB1VHFGB11.18(本小题满分12分)直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求证：平面ACB1平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论解析：(1)证明：直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC，CAB45，BC，BCAC.又BB1BCB，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.又AC平面ACB1，平面ACB1平面BB1C1C.(2)存在点P，P为A1B1的中点要使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行，就要使DP与平面BCB1和平面ACB1的交线平行因为平面BCB1平面ACB1B1C，所以只要DPB1C即可因为A1B1DC，所以四边形DCB1P为平行四边形，所以B1PDCA1B11，所以P为A1B1的中点即当P为A1B1的中点时，DP与平面BCB1和平面ACB1都平行19(本小题满分12分)(2010浙江)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.(1)求二面角AFDC的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长解析：(1)取线段EF的中点H，AF的中点G，连结AG，AH，GH，因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF，所以AH平面BEF.又AF平面BEF，故AHAF，又因为G，H是AF、EF的中点易知GHAB，所以GHAF，于是AF平面AGH，所以AGH为二面角AFDC的平面角在RtAGH中，AH2，GH2，AG2.所以cosAGH.故二面角ADFC的余弦值为.(2)设FMx.因为翻折后，C与A重合，所以CMAM，而CM2DC2DM282(6x)2，AM2AH2MH2AH2MG2GH2(2)2(x2)222，得x，经检验，此时点N在线段BC上所以FM.20(本小题满分12分)(2010重庆)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD，求二面角AECD的平面角的余弦值解析：(1)如图，在矩形ABCD中，ADBC，从而AD平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离因PA底面ABCD，故PAAB，由PAAB知PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AEPB.又在矩形ABCD中，BCAB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BCPB，从而BC平面PAB，故BCAE，从而AE平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离在RtPAB中，PAAB，所以AEPB.(2)过点D作DFCE，交CE于F，过点F作FGCE，交AC于G，则DFG为所求的二面角的平面角由(1)知BC平面PAB，又ADBC，得AD平面PAB，故ADAE，从而DE.在RtCBE中，CE.由CD，所以CDE为等边三角形，故F点为CE的中点，且DFCDsin.因为AE平面PBC，故AECE，又FGCE，知FG綊AE，从而FG，且G点为AC的中点连结DG，则在RtADC中，DGAC.所以cosDFG.21(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2；E为BS的中点，CE，AS.求：(1)点A到平面BCS的距离；(2)二面角ECDA的大小解析：(1)因为ADBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离因为平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，从而ADDS.由ADBC，得BCDS.又由CSDS知DS平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离因此，在RtADS中，DS.(2)如图，过E点作EGCD，交CD于点G，又过点G作GHCD，交AB于点H，故EGH为二面角ECDA的平面角，记为，过E点作EFBC，交CS于点F，连结GF，因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF.故EGF.由于E为BS边的中点，故CFCS1，在RtCFE中，EF1.因EF平面CSD，又EGCD，故由三垂线定理的逆定理得FGCD，从而又可得CGFCSD，因此，而在RtCSD中，CD，故GFDS.在RtEFG中，tanEGF，可得EGF，故所求二面角的大小为.22(本小题满分12分)右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13.(1)设点O是AB的中点，求证：OC平面A1B1C1；(2)求二面角BACA1的大小；(3)求此几何体的体积解析：(1)证明：作ODAA1交A1B1于D，连结C1D.则ODBB1CC1.因为O是AB的中点，所以OD(AA1BB1)3CC1.则四边形ODC1C是平行四边形，因此有OCC1D，C1D平面C1B1A1且