数学必修1函数值域新课标人教

2006年高考数学必修1专题复习 函数(值域)一 相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二 确定函数值域的原则1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；x0123y=f(x)1234则值域为1，2，3，42、数的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；3、数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三 基本函数的值域1、一次函数的值域为R； 2、二次函数； 3、反比例函数的值域为；4、数函数的值域为；5、对数函数的值域为R。6，函数y=sinx、y=cosx的值域是 四 求函数值域的方法1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1. 的值域；解：画出图像（图略）从图可知, 所以此函数的值域为.例2. 求 的值域；解：设 、换元法： 形如；例3. 求函数的值域解：设, .4、判别式法：形如；例4 求函数的值域；解： 要上面的方程有实数根，求出,所以函数的值域为、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如的函数用反函数法求值域；例 求函数y=值域。、分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；例5求函数的值域；解：方法一：（反函数法）求出函数的反函数为，其定义域为，所以原函数的值域为 方法二：（分离常数法） 、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=，的值域 、数形结合法。例6求函数 （方法一可用到图象法）方法二：（单调性） 所以此函数的值域为注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。一回顾与应用1若函数y=f(x)的值域是-2，3，则函数y=f(x)的值域是 （ ） A-2，3 B2，3 C0，2 D0，32函数y=log0.3(x2+4x+5)的值域是 .3函数的值域为 4定义域为R的函数y = f(x)的值域为a，b，则f(x+a)的值域为 （ ）A2a，a+b B0，b-a Ca，bD-a，a+b5若函数f(x)=的值域是-1，1，则函数f 1(x)的值域是（ ）A B -1,1 C D 6函数y=x+的值域是 （ ） Ay|y By|y Cy|y0 Dy|y0 二题型举例1求下列函数的值域：（1） （2）2已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求x12+x22的最大值。3已知函数的定义域为R.(1) 求实数m的取值范围。 （2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域。三课后练习1函数的值域是 ；函数的值域是 。2函数y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是 。3若函数的值域为R，则k的取值范围是（ ）A 0k1 B 0k1)，求b的值。7已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a1)。（1）求f(x)的值域。 （2）若x-2,1时，函数的最小值为-7，求a及f(x)的最大值。 参考答案 1D 2. 3. 0，3 4. C 5. A提示：反函数的值域是原函数的定义域；令，求x。 6A二1求下列函数的值域：解：（1），而 ，所以 ； 所以函数的值域是（2） =，所以函数的值域是。2 解：令 =（k-2）2-4(k2+3k+5)= -3k2-16k-160，得 。x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3x+5)= -k2-10k-6= -(k+5)2+19因为 ，所以 ；-(k+5)2+1919-1=18。 故x12+x22的最大值是18。3 解：（1） m=0满足条件。当m0时，令 解得 0m1，所以m的取值范围是0，1。 （2）所以 f(m)= ； 。故f(m)的值域为0，2。三课后练习1. 2. 3. C 4C 解：f(0)= -4，f()=，f(3)=f(0)，所以 m5. 解：（1）；所以-1y0；从而解得。 （2）；函数的值域是。 法二：0，所以函数y是上的增函数，当x=2时，y有最大值2，从而得结论。6解：，y在1，b上为增函数，f(1)=1，f(b)=b；所以 ；解得：b=1(舍去)、b=3。所以 b=37解：（1）f(x)= -(ax+1)2+21；所以f(x)的值域是。 （2）f /(x)0，所以f(x)为R上的减函数，所以 f(1)= -7；即 -（a+1）2+2= -7；a=2. f(-2)= -(2 2+1)2+2= 。所以a=2，f(x)的最大值是 。必修1复习专题之函数(定义域 解析式 分段函数) -答案【你会做哪些】1+1 2D 3 - 4 4 B 5D 6B 7. 解析：本题路程S与时间t的关系有3种情况，应分3个时间段处理答案： 8. 184或 9. 10. Vx0xa/2【训练反馈】 1B 2A 3C 4D 5B 6D 7 x|-1x8 8（0，5 9 y= 10提示：若k=0，则函数的定义域为R；若k0，则对任意xR，kx2+4kx+30，从而，0，解得0k从而所求k的取值范围为k|0k 12（1）f(1) =0，f(4)=2；（2）增函数；（3）3x4补充专题1-如何求复合函数的定义域？义域是_。 复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。例 若函数的定义域为，则的定义域为 。分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。解：依题意知： 解之，得 的定义域为补充专题二-映射的扩展【知识在线】1对于映射f：AB，下列说法正确的是 （ ） AA中某一元素的象可以不止一个 BB中某一元素的原象可以不止一个 CA中两个不同元素的象必不相同 DB中两个不同元素的原象可能相同2设集合A=a，b，c，B=m，n，p，那么从集合A到B可以建立 个一一映射3已知A=B=R，xA，yB，且f：xy=ax+b，若5和20的原象分别是5和10，则7在f下的象为 4下列函数中，表示同一函数的是 （ ） Af(x)=1，g(x)=xBf(x)=x+1，g(x)= Cf(x)= ，g(x)=|x| Df(x)=x，g(x)=()2 【讲练平台】例1 在对应法则“f”下，给出下列从集合A到集合B的对应：（1）A=N，B=R，f：xy=；（2）A=N，B=Z，f：xy=；（3）A=xx是平面内的三角形，B=yy是平面内的圆，f：xy是x的外接圆其中能构成映射的是（ ）A（1）、（2） B（1）、（3） C（2）、（3） D（2）分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下，对于集合A中的任一元素在B中是否都有唯一的象解 在（1）中，元素“0”在B中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射在（2）中，当x为偶数时，其象为1；当x为奇数时，其象为-1，而1，-1B，即A中任一元素在B中都有唯一的象在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2）、（3）能构成映射答案选C点评 判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义在课本中，已规定0是自然数，忽视了这一点，将误认为对应（1）是映射在映射f：AB中，A、B的地位是不对等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一一般地，若A中元素的象的集合为C，则CB如（2）中除1，-1以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形变题 设集合A=xx是平面内的圆，B=yy是平面内的矩形，f：xy是x的内接矩形试问它能否构成映射？ 答案：不能例2（1999年全国高考） 已知映射f：AB，其中集合A=-3，-2，-1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意aA，在B中和它们对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 （ ） A4 B5 C6 D7分析 本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解解本题应抓住：对应法则f是什么？集合B中的具体元素是什么？而的解决由来决定解 依题意，由AB的对应法则为f：a|a|于是，将集合A中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4由集合元素的互异性可知，B=1，2，3，4，它有4个元素，答案选A点评 准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键 不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用本能中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D例3 设A=(x，y)xR，yR 如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素(y-1，x+2)和原象集合中的元素(x，y)对应，那么象(3，-4)的原象是 （ ）A（-5，5） B（4，-6） C（2，-2） D（-6，4）分析 由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)(y-1，x+2)，问题即：当点(y-1，x+2)是（3，-4）时，对应的x，y的值分别是多少？于是由，即象（-3，4）的原象是（-6，4），选D点评 已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决在映射f：AB中，A是原象集合，B是象的集合，对应法则是f：原象象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A；点(x，y)是有序数对，x，y的顺序不能搞错，否则将误选B例4 设A=x0x2，B=y1y2，图1中表示A到B的函数是分析 可根据映射观点下的函数定义直接求解首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为y0y2，而y0y2 B=y1y2，故它们均不能构成函数从而答案选D点评 函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：集合A与B是否为非空数集；f：AB能否为一个映射另外，函数f：AB中，象的集合M叫函数的值域，且MB【知能集成】1理解映