数学易错点点睛与突破02函数和反函数

2013年NMT数学错误与突破02题函数与反函数1.已知域为0，1的函数f(x)满足(1)对于任何x 0，1，总是有f(x)0；f(1)=1；(3)如果x10，x20，x1 x21，则f (x1x2) f (x1) f (x2)。(1)求出f(0)的值；(2)找出函数f(x)的最大值。2.设f(x)是定义在(0，)上的函数，k是一个正规数，对于任何x(0，)，ff(x)=kx成立。如果f(x)是(0，)的递增函数，k=1，则验证：f (x)=x。(2)对于任何x1，x2(0，)，当x2x1，f (x2)-f (x1) x2-x1成立时。如果k=2，则证明了：。困难二：利用函数的奇偶性、周期性和单调性命题1.设f(x)是定义在-1，1上的偶数函数。当x -1，0，f(x)=g(2-x)，当x2，3，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3。(1)找出f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a (a(a6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，如果是，求出正实数a的值；如果没有，请解释原因。分析 (1)利用函数的奇偶性和条件f(x)=g(2-x)，可以得到f(x)的解析表达式。(2)利用导数，可以得到f(x)的最大值。如果最大值等于12，就可以知道正实数A的存在。(1)当x -1，0，2-x 2，3f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x 3-2axF (x)=4x3-2ax (x -1，0)2.函数y=f(x)是偶数函数，是周期为2的周期函数。当x 2，3时，f (x)=x-1。在图像y=f(x)上有两个点a和b，纵坐标和横坐标相等，在间隔1，3中，固定点c的坐标是(0，a)，(其中a 2)，并且计算ABC面积的最大值。当2是a3时，函数S在1，2和8756上单调增加；S的最大值为S (2)=A-2。困难3:反函数和函数性质的综合1.r上的递减函数f(x)满足：当且仅当x磁共振函数值f(x)的集合是0，2且f()=1；m中的任何x1和x2都有f (x1x2)=f (x1) f (x2)。(1)验证：M和M；(2)证明m上：f(x)的反函数f-1(x)满足f-1 (x1) f-1 (x2)=f-1 (x1x2)。(3)求解不等式f-1 (x2x) f-1 (x2) (x 0，2)。分析根据给定的函数性质证明自变量X是否属于集合。最后，利用反函数的概念和性质证明反函数的一个性质和反函数的不等式。回答(1)证明：m，和=，f ()=1。f ()=f ()=f ()=f () f ()=1 1=2 0，2，M，主题思想和方法2.函数中数字和形状的组合“数”和“形”是数学高层建筑的两个最重要的基石。它们在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。数与形的结合是根据这门学科的特点发展起来的。在回答选择题的过程中，可以根据问题的含义画一个草图，然后参照图形的方法、形状、位置和性质，综合图像的特征，得出结论。设函数g (x)=x2-2 (x r)和f(x)=则f(x)的范围为f(x)=。变型函数Y=的图像和函数Y=2的图像之间的所有交点的横坐标之和等于()。a2 b . 4 c . 6d . 8分辨率：让1-x=1-t，然后x=1-t。的错误很容易被发现易错点1函数的域和值域1.(2013年模拟试题选编)对于域Df和Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定函数h(x)=(1)如果函数f(x)=g(x)=x2，写出函数h(x)的解析表达式；(2)找出问题(1)中函数h(x)的范围。不正确答案(1)f(x)有一个域Df (-，1) 1，)，g(x)的域Dg是2。(2013年模拟问题选编)符号函数f(x)=的域是a，g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)是b(1)寻求一个；(2)如果是BA，现实数a的取值范围3.(2013年模拟试题选编)记住函数f(x)=lg(2x-3)的域设为M，函数g(x)=的域设为n设置m，n；设置m ; n . mn。x3或x1。 n=x | x 3或x1。特别提醒对于带字母的函数来说，要找到定义域或要知道其定义域的取值范围才能找到字母参数，就必须讨论字母的取值，要特别注意定义域不能是一个空集。2.要找到一个函数的值域，我们不仅要注意相应规则的作用，还要特别注意定义域对值域的限制。变体查询1如果函数y=lg(4-a2x)的定义域是r，则实数a的值域是()A.(0，) B.(0，2)C.(-，2) D.(-，0)答案：d分析：4-a2假设函数f(x)的取值范围是-2，3，函数f(x-2)的取值范围是()A.-4，10，5C.-4，10，5d-2，3答案：d分析：f(x-2)的图像向右移动f(x) 2个单位。因此，f(x-2)的值范围保持不变。3已知函数f(x)=lg(x2-2mx m 2)(1)如果函数的定义域是r，试着找出数m的取值范围分析：(1)从问题出发，建立了所有实数x的x2-2mx m 20不等式。=(-2m) 2-4 (m2) 0，解为-10。 h (x)=x22 (1-a) x-2a 0保持在-1，1。有当a，f(x)是-1，1上的单调函数时。2.(2013年模拟试题精选)已知函数f (x)=ax (a 1)(1)证明：函数f(x)是(-1，)上的增函数；(2)通过反证法证明方程f(x)=0没有负根。也就是说，没有0 x0-1的解。当x0-1。x0 1 00，-1 -1，ax00矛盾。也就是说，x0-1没有解决方案。3.(2013年模拟试题精选)如果函数f (x)=l0ga (x3-ax) (a 0且a1)在区间(-，0)内单调增加，则a的取值范围为()A.，1，1C.， D.(1，-)特别提醒1.讨论函数的单调性必须在一个域中进行，所以讨论函数的单调性必须找到函数的域。2.函数的单调性适用于区间。如果f(x)在区间(a，b)和(c，d)中都是增(减)函数，那么不能说f(x)在(a，b) c，d)中一定是增(减)函数。3.如果函数y=f(u)和u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=fg(x)在其域中也是单调函数。如果y=f(u)和u=g(x)具有相同的单调性，