GCT数学需要熟记的公式

唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 数学需要熟记的公式数学需要熟记的公式 第一章第一章算算 术术 【备考要点备考要点】算术部分重点考查的是数的概念和性质，四则运算及运用，比和比例。这部分 看似简单，但往往有考生在简单题目上出错，所以在解题过程中要比其它题目更加细心。 【解题技巧】【解题技巧】 （一）必知公式（一）必知公式 1. 1. 1. 1.数的概念与性质数的概念与性质 自然数：0，1，2， 整数： ，2，1，0，1，2， 分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“”来表示。 数的整除：当整数 a 除以非零整数 b，商正好是整数而无余数时，则成 a 能被 b 整除或 b 能整除 a。 倍数，约数：当 a 能被 b 整除时，称 a 是 b 的倍数，b 是 a 的约数。 素数：只有 1 和它本身两个约数的数。 合数：除了 1 和它本身还有其它约数的数； 互质数：公约数只有 1 的两个数称为互质数。 2. 2. 2. 2.数的四则运算数的四则运算 数的加、减、乘、除法 运算定律：加法交换律abba+=+ 加法结合律()()abcabcabc+=+=+ 乘法交换律a bb a= 乘法结合律()()a b ca bcab c = 乘法分配律()abca ba c+= + ()bcab aca+=+ 运算性质： 交换性质abcacb+= +abcacb= /a b ca c b=/ /a b ca c b= 结合性质()()abcabcacb+=+= ()abcabc=+ /( / )(0)a b cab c c= /( / )(0,0)a b ca b c bc= /()(0,0)a b ca b c bc= 3. 3. 3. 3.比和比例比和比例 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 比的定义：两个数相除，又称为这两个数的比，即: a a b b =； 比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非零的数，其比值不变。 比例的定义：两个比相等时，称为比例，用字母表示为:a bc d=或 ac bd = 比例 ac bd =的性质： adbc=（外项积内项积） dc ba =或 ab cd =（互换外项或内项） abcd bd + =（合比定理） abcd bd =（分比定理） abcd abcd + = （合分比定理） 第二章第二章初等代数初等代数 这部分主要考查代数等式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方； 代数式的运算和因式分解；方程和不等式的解法；数学归纳法，数列；二项式定理，排列， 组合和概率及统计的基本知识等。 第一节第一节数和代数式数和代数式 【备考要点备考要点】 数与代数式部分主要考察实数和复数的概念和简单的性质，以及它们的四则运算与运 用，来培养数学的运算能力。根据数的概念、公式、原理、法则，进行数、式、方程的正确 运算和变形；通过已知条件分析，寻求与设计合理、简捷的运算途径。 【解题技巧解题技巧】 （一）必知公式（一）必知公式 1 1 1 1 实数的运算实数的运算 （1）乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简） yxyx aaa + =， yx y x a a a =， xxx baab=)(， xyyx aa=)(. （2）绝对值的性质 = 0, 0, 0 0, aa a aa a，baba+，aaa. 2 2 2 2 复数复数 （1）基本概念： 虚数单位是1 2 =i；对复数biaz+=的模长是 22 baz+=，幅角 a b =tan， 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 其中2 , 0；它的实部是a，虚部是b。它的共轭复数是bia。 （2）基本形式 代数形式：biaz+=，三角形式：)sin(cosizz+=，指数形式： i ezz= （3）复数的运算及其几何意义 加法：ibaz 111 +=，ibaz 222 +=，)()( 212121 bbiaazz+=+ 数乘：biaz+=，biaz+= 乘法：)sin(cos 1111 izz+=，)sin(cos 2222 izz+=， )sin()(cos( 21212121 +=izzzz， 除法：)sin()(cos( 2121 2 1 2 1 +=i z z z z 3 3 3 3 代数式（单项式、多项式）代数式（单项式、多项式） （1）几个常用公式（和与差的平方，和与差的立方，平方差，立方和，立方差等） （2）简单代数式的因式分解 （3）多项式的除法 第二节第二节集合、映射和函数集合、映射和函数 【备考要点备考要点】 集合、映射和函数主要考察集合的概念，集合的子交并补的性质；函数的概念，及函 数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的判断和应用；幂函数、指数函数、对数函数的初等 性质。以此来培养数学的逻辑推理能力： 对数学问题进行观察、比较、分析、综合、抽象 与概括；能用演绎、归纳和类比进行推理。 【解题技巧】解题技巧】 （一）必知公式（一）必知公式 1集合集合 （1）概念 空集；集合的表示法：0|+ （4）几种特殊三角形（直角、等腰、等边） 勾股定理： 222 bac+= 等腰直角三角形的三边之比：1:1:2 2 2 2 2四边形四边形 （1）矩形（正方形） 矩形两边长为a，b，面积为Sab=，周长2()lab=+，对角线长 22 ab+。 （2）平行四边形（菱形） 平行四边形两边长是a，b，以b为底边的高为h，面积为Sbh=，周长2()lab=+。 （3）梯形 上底为a，下底为b，高为h，中位线 1 () 2 ab+，面积为hbas)( 2 1 +=。 3 3 3 3圆和扇形圆和扇形 （1）圆圆的圆心为 O,半径为 r，直径为 d,则 周长为Rl2= 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 面积是 2 Rs=。 （2）扇形扇形 OAB 中，圆心角为，则 AB 弧长Rl= 扇形面积Rls 2 1 = 第二节第二节空间几何体空间几何体 【备考要点】 空间几何体部分重点考查的是长方体、 正方体以及圆柱体等各种规范立体图形 的表面积和体积的计算和运用，所以记牢一些基本立方体的体积及表面积很关键。 【解题技巧】 （一）（一） 必知公式必知公式 1 1 1 1 长方体长方体 设长方体的 3 条相邻的棱边长是 a,b,c. 体积：Vabc= 全面积：2()Fabbcca=+ 对角线长： 222 dabc=+ 2 2 2 2圆柱体圆柱体 设圆柱体的高为h，底半径为 R. 体积：hRV 2 = 侧面积：2SRh 侧 全面积： 2 222FSRRh=+ 侧底S . 3 3 3 3正圆锥体正圆锥体 设正圆锥体的高为h，底半径为 R. 体积：hRV 2 3 1 = 母线： 22 lRh=+ 侧面积：SRl 侧 ，其侧面展开图为一扇形，该扇形的圆心角为 2R l = 全面积： 2 FSRRl=+ 侧底S . 4 4 4 4球球 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 设球半径为 R 体积： 3 3 4 RV= 面积： 2 4SR= 第三节第三节三角学三角学 【备考要点】三角学部分重点考查的是三角函数的定义及，常用的三角函数恒等式，反三角 函数的定义及性质，熟练掌握特殊角的三角函数值也是很有必要的。 【解题技巧】 （一）（一） 必知公式必知公式 1 1 1 1定义（符号、特殊角的三角函数值）定义（符号、特殊角的三角函数值） 2 2 2 2三角函数的图像和性质三角函数的图像和性质 3 3 3 3常用的三角函数恒等式常用的三角函数恒等式 =+ =+ =+ 22 22 22 csccot1 sectan1 1cossin = = =+ +=+ 1cos2sin21sincos2cos cossin22sin sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( 2222 cos) 2 sin(=+， sin) 2 cos(=+，sin)sin(=+ 4 4 4 4反三角函数反三角函数 xyarcsin=， 2 , 2 x；xyarccos=， , 0 x； xyarctan=，) 2 , 2 ( x；xarcycot=，), 0(x 5 5 5 5正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 （1）正弦定理 c C b B a Asinsinsin = （2）余弦定理 bc acb A 2 cos 222 + =； ac bca B 2 cos 222 + =； ab cba C 2 cos 222 + = 第四节第四节平面解析几何平面解析几何 【备考要点】 平面解析几何部分重点考查的是平面直线方程， 直线之间的位置关系及点到直 线的距离，常见圆锥曲线，如椭圆，抛物线和双曲线的方程及性质。 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 【解题技巧】 （一）（一） 必知公式必知公式 一、平面直线一、平面直线 1 1 1 1直线方程直线方程 点斜式：k xx yy = 0 0 ； 斜截式：)( 00 xxkyy+=； 截距式：ykxb=+； 一般式：0=+cbyax 2 2 2 2两条直线的位置关系（相交、平行、垂直、夹角）两条直线的位置关系（相交、平行、垂直、夹角） 1 l： 11 yk xb=+； 2 l： 22 yk xb=+ 121212 /llkkbb=， 1212 1llk k= 3 3 3 3点到直线的距离点到直线的距离 l：0=+cbyax，点),( 00 yx到l的距离为 22 00 ba cbxax d + + = 二、圆锥曲线二、圆锥曲线 1 1 1 1圆：到一定点距离相等的点的集合圆：到一定点距离相等的点的集合 方程： 22 0 2 0 )()(Ryyxx=+ 2 2 2 2椭圆椭圆 （1）定义：到两点距离之和为一常数的点的集合。 （2）方程：1 2 2 2 2 =+ b y a x ，其中 222 abc=，)0 ,(),0 ,(cc为焦点； （3）离心率：1= a c e （4）渐近线：x a b y= （5）准线： c a x 2 = 4 4 4 4抛物线抛物线 （1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合。 （2）方程：pxy2 2 =，焦点为)0 , 2 ( p ， （3）离心率：1=e （4）准线： 2 p x= 第四章第四章一元函数微积分一元函数微积分 这部分主要考查极限与连续 ，导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微 分的概念即微分中值定理与导数应用，不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，不 定积分和定积分的计算，定积分的简单应用等。 第一节第一节极限与连续极限与连续 【备考要点】 函数是数学研究中一个非常重要的对象， 为了清楚地了解函数，求极限是考察函数性 质的一个基本的方法。因此要求考生学习和掌握一些常见函数的基本定义，极限的求法。 同 时掌握函数连续性的定义、熟练掌握极限的运算法则并能够求一些初等函数和数列的极限。 【解题技巧】【解题技巧】 （一）必知公式（一）必知公式 1极限四则运算法则 lim ( )( )lim( )lim ( )f xg xf xg x=。 lim( ) ( )lim( ) lim( )f x g xf xg x= 2两个基本极限公式 第二节第二节 0 sin lim1 x x x =， 1 0 lim(1)x x xe +=一元函数微分学一元函数微分学 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 【备考要点】 这一节要求考生学习和掌握导数的基本概念和定义， 求导法则及基本求导 公式，高阶导数，微分。同时还需要掌握微分中值定理与导数初等应用。 【解题技巧】【解题技巧】 （一）必知公式（一）必知公式 1初等函数求导公式 cy= 0=y x y a = x ay a1 = a y x =a a y xln = xy a log= axx e y a ln 1log = xysin=xycos= xycos= xysin= tgxy= x xy cos 1 sec 2 2 = ctgxy= x xy sin 1 csc 2 2 = xysec= tgxx x y=sec) cos 1 ( xycsc= ctgxxy=csc xyarcsin= x y 2 1 1 = xyarccos= x y 2 1 1 = arctgxy= x y 2 1 1 + = arcctgxy= x y 2 1 1 + = 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 2导数四则运算法则 （1）(“数乘”)对任意常数C，()yCxCxC=。 （2） （ “加减法” ）对任意常数,AB,( )( )( )( )yAu xBv xAu xBv x=+=+ （3） （ “乘积” ） ( ) ( )( ) ( )( ) ( )yu x v xu x v xu x v x=+ （4） （ “除法” ） 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) u xu x v xu x v x y v xvx =， （( )0v x） 。 3复合函数的求导法则 已知( ),ff u=( ),uu x=则 dfdfdu dxdudx =。 4微分的四则运算法则 （1）(“数乘”)对任意常数C，()dyd CxCdx=。 （2） （ “加减法” ）对任意常数,AB,( )( )( )( )dyd Au xBv xAdu xBdv x=+=+ （3） （ “乘积” ） ( ) ( )( ) ( )( )( )dyd u x v xdu x v xu x dv x=+ （4） （ “除法” ） 2 ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) u xdu x v xu x dv x dyd v xvx =， （( )0v x） 。 5 中值定理与导数应用： 拉格郎日中值定理：( )( )( )()f bf afba= 第三节第三节一元函数积分学一元函数积分学 【备考要点】 这一节要求考生学习和掌握不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公 式，不定积分和定积分的计算，定积分的简单应用。 【解题技巧】 （一）必知公式（一）必知公式 1.常用不定积分公式 (1)kdxkxC=+ (k是常数)，(2) 1 1 (1) n n x n x dxCn + + =+ ， (3)ln | dx x xC=+ ，(4) + 2 1x dx =arctanx+C， (5)cossinxdxxC=+ ，(6)sincos,xdxxC= + (7), xx e dxeC=+ (8) ln , x x a a a dxC=+ 2. 不定积分的运算法则 （1）(“数乘”)对任意常数C，( )( ).Cf x dxCf x dx= 。 （2） （ “加减法” ）对任意常数,AB,( )( )( )( ).Af xBg x dxA f x dxB g x dx+=+ 3.分部积分公式 =dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()( 4.换元积分法 （i）若baxxxgxf, , )()()(=则 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 ( )( ( )( )( )f x dxgxx dxg u du= 称之为第一换元积分法。 （ii） “反过来” ， 又若0)(x, ( )( ( )( )( )g u dugxx dxf x dx= 称之为第二换元积分法. 【注】 对于定积分有类似于上面的公式。 5.牛顿-莱布尼茨公式 如果函数 ( )xF 是连续函数)(xf在区间 ba, 上的一个原函数， 则 ( )( )( )aFbFdxxf b a = . . 6.定积分的应用平面图形的面积 求函数( )yf x=和( )yg x=与两条直线bxax= ,所围图形的面积。 ( )( ) bb aa SdSf xg x dx= 第五章第五章 线性代数线性代数 【备考要点】【备考要点】 线性代数部分的考点主要包括行列式线性代数部分的考点主要包括行列式，矩阵矩阵，向量向量，线性方程组和特征值问题五个部线性方程组和特征值问题五个部 分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性质，行列式展开定理，行列式的计算；矩分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性质，行列式展开定理，行列式的计算；矩 阵部分主要考查矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换；向量部分主要考查阵部分主要考查矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换；向量部分主要考查 向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩；线性方程组主要考查线性方程组向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩；线性方程组主要考查线性方程组 的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解；特征值问题的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解；特征值问题 主要考查特征值和特征向量的概念主要考查特征值和特征向量的概念，相似矩阵相似矩阵，特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的计算，n n n n 阶矩阵可化为阶矩阵可化为 对角矩阵的条件和方法。对角矩阵的条件和方法。 第一节第一节行列式行列式 行列式是线性代数的一个重要工具。线性代数中很多重要的问题都可以用行列式来讨行列式是线性代数的一个重要工具。线性代数中很多重要的问题都可以用行列式来讨 论论，例如例如，n n n n 阶行列式可以用来判断阶行列式可以用来判断 n n n n 元向量的线性相关性元向量的线性相关性，判别矩阵是否可逆判别矩阵是否可逆，判别系数判别系数 矩阵为方阵的线性方程组的解是否唯一，当有唯一解时还可以用矩阵为方阵的线性方程组的解是否唯一，当有唯一解时还可以用克莱姆法则求线性方程组克莱姆法则求线性方程组 的解的解，还可以用来求矩阵的特征值还可以用来求矩阵的特征值。因此因此，就备考就备考 GCTGCTGCTGCT 考试来说考试来说，掌握行列式是至关重要掌握行列式是至关重要 的第一站。的第一站。 【解题技巧】【解题技巧】 【必知公式】【必知公式】 行列式的定义：行列式的定义： 一阶行列式定义为 1111 aa= 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 二阶行列式定义为 2221 1211 aa aa 21122211 aaaa 在 n 阶行列式中，划去元素 ij a所在的第i行和第j列，剩余元素构成 n-1 阶行列式，成 为元素 ij a的余子式，记做 ij M。令 )( ) 1( ji ij A + = ij M，则称 ij A为 ij a的代数余子式。 n 阶行列式的定义为 nnnn n n aaa aaa aaa L LLLL L L 21 22221 11211 1111A a+ 1212A a nnA a 11 +L 行列式的性质：行列式的性质： 行列式中行列互换，其值不变行列式中行列互换，其值不变 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332313 322212 312111 aaa aaa aaa 行列式中两行（列）对换，其值变号行列式中两行（列）对换，其值变号 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 333231 131211 232221 aaa aaa aaa 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外 333231 232221 131211 aaa kakaka aaa k 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式 的和的和 333231 232322222121 131211 aaa bababa aaa + 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 aaa bbb aaa 由以上四条性质，还能推出下面几条性质： 行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为 0 0 0 0 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式为行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式为 0 0 0 0 行列式中如果有一行（列）元素全为行列式中如果有一行（列）元素全为 0 0 0 0，则行列式值为，则行列式值为 0 0 0 0 行列式中某行（列）元素的行列式中某行（列）元素的k倍加到另一行（列倍加到另一行（列） ，则其值不变，则其值不变 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 133312321131 232221 131211 kaakaakaa aaa aaa + n n n n 阶行列式的展开性质：阶行列式的展开性质： D= nnnn n n aaa aaa aaa L LLLL L L 21 22221 11211 等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积和，即 D 11ii Aa+ 22ii Aa ininA a+Lni, 2 , 1L= 按列展开定理 D jjA a 11 + jjA a 22njnjA a+Lnj, 2 , 1L= n 阶行列式D的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积和等与零，即 11ji Aa+ 22ji Aa jninA a+L0ji 按列展开的性质 jiA a 11 + jiA a 22njniA a+L0ji 特殊行列式特殊行列式 nn a a a O 22 11 nn aaaL 2211 ； 1 )1(2 1 n n n a a a N 1)1(21 2 )1( ) 1( nnn nn aaaL 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同。 第二节第二节矩矩 阵阵 矩阵是线性代数中最重要的研究对象矩阵是线性代数中最重要的研究对象，熟练掌握矩阵的加法熟练掌握矩阵的加法、数乘数乘、乘法乘法、转置转置、求逆求逆 和初等变换等运算是学好线性代数的重要基础。和初等变换等运算是学好线性代数的重要基础。 【解题技巧】【解题技巧】 【必知公式】【必知公式】 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 1 1 1 1 矩阵的概念和运算矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的幂乘的定义及性质。矩阵的概念和运算矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的幂乘的定义及性质。 矩阵乘法定义：矩阵乘法定义： kjik k ij BAAB =)( 矩阵乘法不满足交换律和消去律。满足结合律和左（右）乘分配律。 若 A 可逆，则=ACABB=C A，B 是 n 阶方阵，则BAAB= TT ABB A= 2 2 2 2逆矩阵逆矩阵 定义：对方阵 A，若存在方阵 B 使得AB=BA=I A 可逆0A 公式： *1 1 A A A= 1 1 | =AA, 111 )( =ABAB 3 3 3 3伴随矩阵伴随矩阵 定义： * A T ij A)( 基本关系式：IAAA= * 与逆矩阵的关系： *1 1 A A A= 行列式： 1 * = n AA 4 4 4 4矩阵方程矩阵方程 设 A 是 n 阶方阵，B 是mn矩阵，若 A 可逆，则矩阵方程BAX=有解，其解为 BAX 1 =. 设 A 是 n 阶方阵，B 是mn矩阵，若 A 可逆，则矩阵方程BXA=有解，其解为 1 =BAX. 5 5 5 5矩阵的秩矩阵的秩 在nm矩阵 A 中，任取k行k列，位于这k行k列交叉处的 2 k个元素按其原来的次序 组成一个k阶行列式，称为 A 的一个k阶子式。 若矩阵 A 中有一个 r 阶子式不为零，而所有 r1 阶子式全为零，则称矩阵 A 的秩为 r， 记作 r(A). 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 显然有00)(=AAr，),min()(nmAr nm ； rAr)(A 中有一个 r 阶子式不为零； rAr)(A 中所有 r1 阶子式全为零； 对于 n 阶方阵 A，0)(=AnAr； 对于 n 阶方阵 A，若nAr=)(，则称 A 是满秩方阵。 6 6 6 6矩阵的秩有以下一些常用的性质：矩阵的秩有以下一些常用的性质： )()( T ArAr=,)()(kArAr=， （0k） ； )()()(BrArBAr+； )()(ArABr，)()(BrABr； )()()(ABrnBrAr+，其中n为矩阵 A 的列数； 若0= snnm BA，则nBrAr+)()(。 若 A 可逆，则)()(BrABr=；若 B 可逆，则)()(ArABr=。 = = = 1)(, 0 1)(, 1 )(, )( * nAr nAr nArn Ar 第三节第三节向向 量量 【必知公式】【必知公式】 1 1 1 1向量组的线性组合与线性表示向量组的线性组合与线性表示 设 s ,., 21 是 n 维向量， s kkk,., 21 是数，则 ss kkk+. 2211 称为向量 s ,., 21 的一个线性组合。 若 ss kkk+=. 2211 ，则称可由 s ,., 21 线性表出。 2 2 2 2线性相关与线性无关线性相关与线性无关 定 义 ： 设 s ,., 21 是 n 维 向 量 ， 若 存 在 不 全 为 零 的 数 s kkk,., 21 ， 使 得 ss kkk+. 2211 0，则称 s ,., 21 线性相关，否则称为线性无关。 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 定理定理：若 s ,., 21 线性无关，而 s ,., 21 ，线性相关，则可由 s ,., 21 线 性表出，且表示法唯一。 判断判断 设 s ,., 21 是 n 维向量， s ,., 21 线性相关sr s ),.,( 21 存在某 个向量可被其余 s1 个向量线性表出。 n 个 n 维向量 n ,., 21 线性相关0|,.,| 21 = n 。 n1 个 n 维向量 121 ,., +n 必线性相关。 增加向量组向量的个数，不改变向量组的线性相关性； 减少向量组向量的个数，不改变向量组的线性无关性。 增加向量组向量的维数，不改变向量组的线性无关性； 减少向量组向量的维数，不改变向量组的线性相关性。 含有零向量的向量组必线性相关。 含有两个相同向量的向量组必线性相关。 3 3 3 3向量组的秩和极大线性无关组向量组的秩和极大线性无关组 定义定义：设向量组 r iii ,., 21 是向量组 s ,., 21 的一个部分组，满足 （1） r iii ,., 21 线性无关； （2）向量组 s ,., 21 的每一个向量都可以由向量组 r iii ,., 21 线性表示出， 则称 r iii ,., 21 是向量组 s ,., 21 的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关 组中所含向量的个数称为这个向量组的秩。 求法求法 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形。 求极大线性无关组的步骤： （1）将向量依次按列写成矩阵； （2）对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形； （3）主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组。 例如例如 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 A=),( 54321 （行初等变换） 00000 21000 10210 20101 主元所在列是第 1 列、第 2 列、第 4 列，因此 54321 ,的一个极大线性无关组是 421 ,，且3),( 54321 =r。 4 4 4 4向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩 设 A 是nm矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵 m 个行向量构成一个向量组，该 向量组的秩称为矩阵的行秩。 将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的 n 个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩 阵的列秩。 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩。 （三秩相等） 第四节第四节线性方程组线性方程组 【必知公式】【必知公式】 1 1 1 1齐次线性方程组有非零解的判定条件齐次线性方程组有非零解的判定条件 设 mn MA，齐次线性方程组AX=O有非零解r(A)n； AX=O只有零解r(A)0，即系数矩阵满秩。 设 A 是 n 阶方阵，齐次方程组AX=O有非零解0=A； AX=O只有零解0A. 设 mn MA，当 mn 时，齐次线性方程组AX=O必有非零解。 2 2 2 2齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 若 21, 是齐次线性方程组AX=O 的解，则和 21 +仍是AX=O 的解； 若是齐次线性方程组AX=O 的解，则的任意常数倍k仍是AX=O 的解。 3 3 3 3齐次线性方程组齐次线性方程组AX=AX=AX=AX=O O O O 解的结构解的结构 AX=O 的一个基础解系 t , 21 L. 其要点为： （1） t , 21 L都是AX=O 的解； （2）它们是线性无关的； 唯一国家指定唯一国家指定 GCTGCT 考试权威辅导机构考试权威辅导机构 （3）AX=O 的任何一个解都可以由它们线性表出。因此基础解系往往不是唯一的。 若 n 元齐次线性方程组AX=O 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=r， 则基础解系中含有 nr 个线性 无关的解向量。 （这一点和上面的（3）等价，即 t=nr） 若 t , 21 L是齐次线性方程组AX=O 的一个基础解系，则齐次线性方程组AX=O 的 通解（一般解）是 ttx kxkxkX+=. 2211 其中 t kkk, 21 L是任意常数。 解齐次线性方程组AX=O 的基本方法 解齐次线性方程组AX=O 的基本步骤： （1）对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行阶梯形； （2）假设有 r 个非零行，则基础解系中有 nr 个解向量，选非主元所在的列的变量为自由 未知量； （3）将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量。 4 4 4 4非齐次线性方程组有解的判定非齐次线性方程组有解的判定 非齐次线性方程组bAX=有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 )|()(bArAr= 若 n 元非齐次线性方程组bAX=有解，即)|()(bArAr=r 当 r=n 时，方程组bAX=有唯一解； 当 rn 时，方程组bAX=有无穷多解。 5 5 5 5非齐次