数学第二轮多面体人教

高考数学第二轮复习 多面体定义1：与多面体各棱相切的球与各面与的截线在所在面的多边形内，那么该球称为该多面体的内棱切球，其球心称为该多面体的内棱心。定理1：多面体的内棱心在各面的射影是相应面的内心，内棱切球与各面的截线是相应面的内切圆。证明：因为球与平面的截线是圆，并且截线与截面的各边只有一交点，也就是与截面各边都相切。因为截线在截面所在的多边形内，所以截线是截面的内切圆。设点R是某多面体的内棱心，平面A1A2An是该多边形的一个面，点R在平面A1A2An的射影是I，棱切球与棱A1A2、A2A3、AnA1的切点分别是B1、B2、Bn，因为RA1A2I图1B1B2RB1 = RB2 = = RBn，RIA1 = RIA2 = = RIAn = 90，所以RIA1 RIA2 RIAn，所以IA1 = IA2 = = IAn，因此点I 是n边形A1A2An的外心。定理2：如果多面体存在内棱切球，则该内棱切球是唯一的。证明：如果多面体存在内棱切球，根据定理1，过各面的内心作所在面的垂线，那么垂线的交点就是多面体的内棱心，所以该多面体的内棱心是唯一确定的。另外，球的半径是内棱心与该多面体的某一棱的距离，所以球的半径也是唯一确定的，因而内棱切球也唯一确定。定理3：空间一点是四面体的内棱心的充要条件是：该点与四面体各顶点的连线与过该顶点三棱的夹角相等并且都是锐角。证明：（1）充分性ABCDEFG图2RHIJ设空间一点R与与四面体ABCD各顶点的连线与过该顶点三棱的夹角相等，连AR、BR、CR、DR，过点R作棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的垂线，垂足分别是E、F、H、G、I、J，并且都在各棱内，则AER AFR AGR，所以ER = FR = GR。同理可得ER = HR = IR，FR = HR = JR，GR = IR = JR，所以ER = FR = GR = HR = IR = JR，所以点R是四面体ABCD的内棱心（2）必要性设点R是四面体ABCD的内棱心，内棱切球与棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的切点分别是E、F、H、G、I、J，并且都在个棱内，则ER = FR = GR = HR = IR = JR，所以EAR = FAR = GAR 0，那么点R与点A在平面BCD的同侧；如果Z 0；图4ABCDEFRI1当点R与点A在平面BCD的异侧时，EI1R是钝角，所以RI12 + EI12 ER2 0，那么点R与点A在平面BCD的同侧；如果Z 0，那么点RA与点A在平面BCD的异侧；如果Z1 0，那么点RA与点D在平面ABC的同侧；如果Z2 BC AC及AB BD AD矛盾，因此在临棱区不可能存在外棱切球。（2）在临顶区的情况不失一般情况，如图7所示，假设在四面体ABCD顶点A的临顶区有一球与该四面体的各棱均相切，设与AB，AC，AD，BC的切点分别为E，F，G，H。因为AE = AF = AG，BE = BH，CF = CH，所以BE AE = BH AF，亦即AB = BC + CH AF = BC + CF AF = BC + AC，在ABC中，这与AB BC + AC矛盾，因此在临顶区不可能存在外棱切球。ABCDEFGHIJ图6图7ABCDEFGH定义3：对棱相等的四面体称为等腰四面体，所有棱都相等的四面体称为正四面体。定理16：如果四面体存在外棱切球，则外棱切球或者只有唯一个，或者有四个；如果存在四个外棱切球，则该四面体是等腰四面体。证明：假设四面体ABCD有两个外棱切球，分别在平面BCD及平面ACD的临面区与四面体各棱相切，并令AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，则由外棱切球存在的充要条件，分别得到a p = b q = c r，a p = q b = r c，因此得到a = p，b = q，c = r，满足上面条件的四面体是等腰四面体。根据等腰四面体的关系还可以得到p a = b q = r c，p a = q b = c r，也就是在平面ABD及平面ABC的临面区分别有一球与四面体各棱相切，外棱切球有四个。定理17：如果四面体既有内棱切球又有外棱切球，则该四面体是一个外棱切球所在临面区所在平面的三角形是正三角形的正三棱锥。证明：假设四面体ABCD有一个内棱切球和一个外棱切球，外棱切球平面BCD的临面区与四面体各棱相切，并令AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，则由内棱切球和外棱切球存在的充要条件，分别得到a + p = b +