数学第二轮直线、平面、简单几何体

高考数学第二轮专题复习直线、平面、简单几何体考情动态分析 立体几何是中学数学的重要内容，它在培养和考查学生的思维能力、运算能力、空间想象能力以及解决实际问题的能力方面具有独特的作用，因此也是高考重点考查的内容 考查的重点与热点主要有两的类型：一是线线、线面、面面的平行与垂直的判断、推理，主要是数学语言、图形语言、符号语言的密切结合及相互转化，根据概念、性质、公理、定理进行逻辑推理和论证；二是空间的角和距离的概念及其计算 从2005年全国及江苏省的考题看立体几何的高考命题有以下特点： （1）题型和题量较稳定，一般是二选一填一解答，分值占总分的20% （2）选择题、填空题注重符号语言、文字语言、图形语言在推理中的运用，更重视概念明确、关系清楚、基本运算熟练等 （3）解答题形成了一些规律，一般将几何元素集中于一个几何体中，即以一个多面体或旋转体为依托（以多面体的时候较多）设置几个小问题，设问形式以证明或计算为主，也有时候设置一些开放性的问题，每个小题之间有一定的联系，在突出考查逻辑思维能力的前提下，将空间想象能力和运算、推理能力相结合进行考查 值得注意的是高考立体几何的解答题由原来的甲、乙两题中任选一题，恢复到只有一题，而且用九(A)和九(B)解法都可以，这无疑拓展了考生的思维空间，降低了思维难度，这与当今新课程改革的精神是一致的71 直线与平面的位置关系 考点核心整合1空间两直线（1）位置关系相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线在同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线l 特别提示注意“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的区别（3）异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线（4）公理4平行于同一条直线的两条直线平行公理4也叫做平行公理，它说明平行具有传递性，这是证明两直线平行的一个重要的理论依据2直线与平面垂直（1）直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有”直线是同义词，但与“无数条直线”不同定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式有了这样的定义，就可以判定线线垂直，即当直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线它可以作为线线垂直的判定定理（2）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面符号表示：若，则定理中的关键词语是“两条相交直线”，应用此定理时，主要是设法在平面内找到两条相交直线（3）直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号表示：若，则作用：可作线线平行的判定定理 （4）平面的垂线、斜线、射影 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短 （5）三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直l 思考讨论如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行吗？答案：不一定3直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 直线在平面内有无数个公共点直线在平面外 相交只有一个公共点； 平行没有公共点划分直线与平面的位置关系的依据是直线与平面的交点个数：平行无交点；相交只有一个交点；直线在平面内无数个交点 （2）直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行 （3）直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 （4）直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行考题名师诠释【例1】（2003年新课程，理16）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号） 解法一 如图，设正方体为ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1 在图中， 连结AB1，则AB1MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，lMN同理lMPl平面MNP，故符合 在图中，延长MP交C1D1的延长线与点E连结NE，若l面MNP，则lNE又C1D是l在平面CDD1C1内的射影，CD1C1D，lCD1l平面CDD1C1，矛盾不符合 在图中，平面MNP与图中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，图不符合 在图中，lMP，lMN，l平面MNP延长PM交AB于点F，取CD的中点G，则GNMP，G平面MNP连结FG交BC于点H，则H平面MNP，可证H是BC的中点，图与图中的平面MNP实为同一平面也符合答案 解法二（判法同解法一） 以A1B1、A1D1、A1A所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(0，0，1)、C1(1，1，0)l = = (1，1，-1) 在图中， = (，1，)，l = + 1 - = 10，与l不垂直不符合 在图中， = (- ，1，- )，l = - + 1 + = 10，与l不垂直不符合 在图中， = (- ，1，)， = ( ，1)，l = - + 1 - = 0，l = + - 1 = 0，l，llMNP图符合评叙 本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识由上述两解法可看出，用空间向量求解，可大大降低思维难度，显示出了用向量法解决问题的优越性通过这个试题可看出，试题在向增加思维量、综合考查学生的各种能力转化l 特别提示想一想：如何判断直线与平面垂直？如何判断平面与平面垂直？它们有和性质？如何应用三垂线定理？ABACADAPAMAEANA【例2】（2005年全国卷，18）已知四棱锥PABCD为直角梯形，ABDC，DAB = 90，PA底面ABCD，且PA = AD = DC = AB = 1，M是PB的中点 （1）证明面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小方法一 （1）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理，得CDPD因而CD与面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直CD平面PAD又CD面PCD，面PAD面PCD（2）解：过点B作BECA，且BE = CA，则PBE是AC与PB所成的角连结AE，可知AC = CB = BE = AE = 又AB = 2，四边形ACBE是正方形由PA面ABCD，得PEB = 90在RtPEB中，BE = ，PB = ，cosPBE = = AC与PB所成的角为arccos（3）解：作ANCM，垂足为N，连结BN在RtPAB中，AM = MB又AC = CB，AMCBMCBNCM故ANB为所求二面角的平面角CBAC，由三垂线定理，得CBPC在RtPCB中，CM = MB，CM = AM在等腰AMC中，ANMC = AC，AN = = cosANB = = - 故所求的二面角为arccos(- )ABACADAPAMANAxyz方法二 PAAD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0，0，0)、B(0，2，0)、C(1，1，0)、D(1，0，0)、P(0，0，1)、M(0，1，)（1）证明： = (0，0，1)， = (0，1，0)， = 0APDC由题设知ADDC，DC平面PAD又DC 平面PCD，故面PAD面PCD（2）解： = (1，1，0)， = (0，2，-1)，cos，= = 故AC与PB所成的角为arccos（3）解：在MC上取一点N(x，y，z)，则存在R，使=，= (1 x，1 y，-z)，= (1，0，-)x = 1 ，y = 1，z = 要使ANMC，只需 = 0，即x z = 0，= 当= 时，N(，1，)能使 = 0此时，= (，-1，)， = 0ANMC，BNMCANB为所求二面角的平面角cos，= = - 故所求的二面角为arccos(- )评叙 本题主要考查线面垂直、面面垂直、线线角、二面角等知识，考查逻辑思维能力和空间想象能力及用向量解决数学问题的能力l 特别提示解决求异面直线所成角的问题，常从两个方面入手： （1）构造法：利用定义作出所求的角，常用的方法有平移、补形等； （2）向量法：利用向量的内积求两个向量的夹角进而求两异面直线的夹角ABACBADBAPBAEBA【例3】（2004年天津卷，19）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD = DC，E是PC的中点 （1）证明PA平面EDB； （2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值方法一 （1）证明： 连结AC交BD于点O，连结EO底面ABCD是正方形，点O是AC的中心在PAC中，EO是中位线，PAEO而EO平面EDB且PA平面EDBPA平面EDB（2）解：作EFDC交CD于点F，连结BF，设正方形ABCD的边长为aPD底面ABCD，PDDCEFPDF为DC的中点EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角在RtBCF中，BF = = = aEF = PD = ，在RtEFB中，tanEBF = = = ABACBADBAPBAEBAFAGxyzEB与底面ABCD所成的角的正切值为ABACBADBAPBAEBAFAOA方法二 如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC = a（1）证明：连结AC交BD于点G，连结EG依题意得A(a，0，0)、P(0，0，a)、E(0，)底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心故点G的坐标为(，0) = (a，0，- a)， = (，0，-) = 2，这表明PAEG而EG平面EDB且PA平面EDBPA平面EDB（2）解：依题意得B(a，a，0)、C(0，a，0)取DC的中点F(0，0)，连结EF、BF = (0，0，)， = (a，0)， = (0，a，0)， = 0， = 0FEFB，FEDCEF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角在RtBCF中，| = ，| = = a，tanEBF = = = EB与底面ABCD所成的角的正切值为评叙 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力l 特别提示 解有关直线与平面所成角的问题的关键是找垂线、找射影ABACADAEASA【例4】（2005年江苏卷，21）如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA = AB = AE = 2，BC = DE = ，BAE = BCD = CDE = 120（1）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（2）证明BC平面SAB；（3）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小（不必写出解答过程）（1）解：连结BE，延长BC、ED交于点F，ABACADAEASAF则DCF = CDF = 60CDF为正三角形CF = DF又BC = DE，BF = EF因此，BFE为正三角形，FBE = FCD = 60BECDSBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角SA底面ABCDE，且SA = AB = AE = 2，SB = 2同理SE = 2又BAE = 120，BE = 2从而cosSBE = ，SBE = arccos异面直线CD与SB所成的角为arccos（2）证明：由题意，ABE是等腰三角形，BAE = 120，ABE = 30又FBE = 60，ABC = 90BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC又SABA = A，BC平面SABABACADAEASAFxAyz（3）解：二面角B-SC-D的大小为- arccos向量解法：（1）连结BE，延长BC、ED交于点F，则DCF = CDF = 60CDF为正三角形CF = DF又BC = DE，BF = EF因此，BFE为正三角形，ABE是等腰三角形，且BAE = 120，ABC = 90以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、y轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系（如图），则A(0，0，0)、B(2，0，0)、S(0，0，2)，且C(2，0)、D(，0)于是 = (- ，0)， = (-2，0，2)，则cos，= = = ，= arccos异面直线CD与SB所成的角为arccos（2） = (0，0)， = (2，0，0)， = (0，0，-2)， = (0，0)(2，0，0)= 0， = (0，0)(0，0，-2)= 0BCAB，BCSAABSA = A，BC平面SAB（3）二面角B-SC-D的大小为- arccos评叙 本题主要考查异面直线成角、线面垂直、二面角等基础知识及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算考查了空间想象能力和逻辑推理能力ABCDEFOP【例5】（2004年湖南卷，理19）如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC = 60，PA = AC = a，PB = PD = a，点E在PD上，且PEED = 21（1）证明：PA平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论（1）证明：底面ABCD是菱形，ABC = 60，AB = AD = AC = a在PAB中，由PA2 + AB2 = 2a2 = PB2，知PAAB同理PAADPA平面ABCD（2）解：作EGPA交AD于点G，由PA平面ABCD，知EG平面ABCD作GHAC于点H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角又PEED = 21，EG = a，AG = a，GH = AG sin60= a从而tan= = ，= 30（3）解：当F是棱PC的中点时，BF平面AEC证明如下：取PE的中点M，连结FM，则FMCE，故FM平面AEC由EM = PE = ED，知E是MD的中点连结BM、BD，设BDAC = O，则O为BD的中点BMOE故BM平面AEC由知，平面BFM平面AEC又BF平面BFM，BF平面AEC评叙 对于这类存在性问题，一般思路是先假设命题成立，然后探求使命题成立的条件考能提升训练一、选择题 1已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题中，正确命题是 （ ） ABCD 2（2005年天津卷，4）设，为平面，m、n、l为直线，则的一个充分条件是（ ） A，B，C，D， 3设a、b是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ） 若ab，a，b，则b；若a，则a；若a，则a或a；若ab，a，b，则 A0个B1个C2个D3个ACBDEFMN 4（2003年上海卷，理14）在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ） A，都垂直于平面B内存在不共线三点到的距离相等Cl、m是内两条直线，且l，mDl、m是两条异面直线，且l，m，l，m 5右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中有：BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60的角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）ABCD 6（2004年杭州模拟题）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P，P到直线A1B1的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在的曲线的形状大致为（ ）ABCDPA1B1C1D1PABA1B1PABA