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文档简介
精选,求数列的通项公式,精选,通项公式:如果数列an的前n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,即注意:1.通项公式通常不是唯一的,一般取其最简单的形式;2.通项公式以数列的项数n为唯一变量;3.并非每个数列都存在通项公式.,精选,例1、写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数。,已知数列的前几项,观察数列特征,通常先将各项分解成几部分(如符号、分子、分母、底数、指数等),然后观察各部分与项数的关系,写出通项。,一、观察法,精选,1、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,解:an=10n1,(2)1,11,111,1111,分析:注意观察各项与它的序号的关系有101,1021,1031,1041,解:an=(10n1),这是特殊到一般的思想,也是数学上重要的思想方法,但欠严谨!,分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系,练习:,精选,精选,二、公式法:(1)等差数列通项公式:(2)等比数列通项公式:例如:(1)(2),精选,三、定义法:,运用,精选,例2.an的前项和Sn=2n21,求通项an,解:当n2时,an=SnSn1=(2n21)2(n1)21=4n2,当n=1时,a1=1,不满足上式,精选,变式.已知an中,a1+2a2+3a3+nan=3n+1,求通项an,解:a1+2a2+3a3+nan=3n+1(n1),a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n(n2),nan=3n+13n=23n,而n=1时,a1=9,(n2),两式相减得:,精选,例3.,精选,例4.,精选,例5.已知an中,an+1=an+n(nN*),a1=1,求通项an,解:由an+1=an+n(nN*)得,an=(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1=(n1)+(n2)+2+1+1,四、累加法,(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列),n个等式相加得,an+1an=n(nN*),(1)注意讨论首项;,(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式,精选,求法:累加法,练习:,精选,五、累乘法(形如an+1=f(n)an型),例6.已知an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1annan2=0,求an的通项公式,解:(n+1)an+12+an+1annan2=0,(an+1+an)(n+1)an+1nan=0,an+1+an0,(n1),an=.,(n+1)an+1=nan,精选,练习1:,五、累乘法(形如an+1=f(n)an型),精选,练习2,五、累乘法(形如an+1=f(n)an型),精选,六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q(p、q为常数)时,求该数列的通项公式.,例7.已知,根据条件,确定数列的通项公式.,方法:猜想证明:由及,计算出,归纳猜想:;,然后用数学归纳法证明猜想正确(略).,精选,六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q(p、q为常数)时,求该数列的通项公式.,例7.已知,根据条件,确定数列的通项公式.,方法迭代法:。,精选,六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q(p、q为常数)时,求该数列的通项公式.,例7.已知,根据条件,确定数列的通项公式.,方法构造法:根据构造一个新数列设,则,即,为等比数列,首项为,公比为3.,.,精选,六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q(p、q为常数)时,求该数列的通项公式.,方法总结:利用待定系数法令an+=p(an-1+),得到,从而构造出等比数列,辅助求出an的通项公式,精选,六、构造法,例8.已知数列中,,3,4,,精选,六、构造法,例8.已知数列中,,3,4,,精选,六、构造法,精选,【变式迁移】,已知数列an中,a15且an2an12n1(n2且nN*).(1)求证数列为等差数列;(2)求数列an的通项公式.,解:(1)方法1:(构造法)因为a15且an2an12n1,所以当n2时,an12(an11)2n,所以,所以,,精选,所以是以为首项,以1为公差的等差数列.(2)由(1)知,所以an(n1)2n1.,已知数列an中,a15且an2an12n1(n2且nN*).(1)求证数列为等差数列;(2)求数列an的通项公式.,【变式迁移】,精选,例10
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