数学课后作业73推理与证明新人教A

2013高考数学人教A版课后作业1.(2011江西文，6)观察下列各式：7249,73343,742401，则72011的末两位数字为()A01 B43 C07 D49答案B解析7516807,76117649，又7107，观察可见7n(nN*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，201150243，72011与73末两位数字相同，故选B.2设a、b、cR，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR0成立其次，若PQR0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P0，Q0，即abc0，bca0，b0与bR矛盾，故P、Q、R都大于0.3将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16则在表中数字2010出现在()A第44行第75列 B第45行第75列C第44行第74列 D第45行第74列答案D解析第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421936,4522025，且19362010，2010在第45行又2025201015，且第45行有245189个数字，2010在第891574列，选D.4(文)(2011绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1024 C1225 D1378答案C解析将三角形数记作an，正方形数记作bn，则an12n，bnn2，由于1225352，故选C.(理)(2011咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16这样的数称为“正方形数”如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()13310；25916；361521；491831；642836.A B C D答案C解析这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：152136,283664，只有是对的5(文)(2010曲师大附中)设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体SABC的体积为V，则r()A. B.C. D.答案C解析设三棱锥的内切球球心为O，那么由VSABCVOABCVOSABVOSACVOSBC，即VS1rS2rS3rS4r，可得r.(理)(2010辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)，C(x)，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)A B C D答案D解析实际代入逐个验证即可如S(x)C(y)C(x)S(y)(axyayxaxyaxyaxyayxaxyaxy)(2axy2axy)S(xy)，故成立同理可验证均成立6(文)定义某种新运算“”：Sab的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5436()A2 B1 C3 D4答案B解析由题意知545(41)25,366(31)24，所以54361.(理)(2010寿光现代中学)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)nf，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)tanx在上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanAtanBtanC的最小值是()A3 B. C3 D.答案C解析根据f(x)tanx在上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanAtanBtanC3tan3tan3.故所求的最小值为3.7设f(x)定义如表，数列xn满足x15，xn1f(xn)，则x2012的值为_.x123456f(x)451263答案6解析由条件知x15，x2f(x1)f(5)6，x3f(x2)f(6)3，x4f(x3)f(3)1，x5f(x4)f(1)4，x6f(x5)f(4)2，x7f(x6)f(2)5x1，可知xn是周期为6的周期数列，x2012x26.8(文)(2011陕西文，13)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_答案567891011121381解析第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为567891011121381.点评观察各等式特点可得出一般结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.(理)(2011台州模拟)观察下列等式：(1xx2)11xx2，(1xx2)212x3x22x3x4，(1xx2)313x6x27x36x43x5x6，(1xx2)414x10x216x319x416x510x64x7x8，由以上等式推测：对于nN*，若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a2_.答案n(n1)解析由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，a2n(n1).1.(文)(2010山东文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，g(x)f (x)，g(x)g(x)，选D.(理)(2011清远模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是()AB*D，A*D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A*D答案B解析观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A|，B，C，D，从而可知图(A)对应B*D，图B对应A*C.2(文)(2011皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0,1(i0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，运算规则为：000,011,101,110.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A11010 B01100C10111 D00011答案C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0011，而h1h0a2110，故传输信息应是10110.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3a1时，甲获胜，否则乙获胜若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是()A12,24B(12,24)C(，12)(24，)D(，1224，)答案D解析因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的故由题意得即4a136，a118，a136，a118出现的机会是均等的，由于当a3a1时甲胜，且甲胜的概率为，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，a118a1，a136a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a136a1得a112，由a118a1得，a124，故当12a11)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f(n)_，并可解得通项f(n)_.答案f(n)f(n1)n1；f(n)解析观察图表知f(n)等于f(n1)与其相邻数n1的和递推关系为f(n)f(n1)n1，f(n)f(n1)n1，即f(2)f(1)1，f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(n)f(n1)n1，相加得f(n).(理)(2010福建文)观察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.答案962解析由题易知：m29512，p51050m12801120np11，mnp162.n400，mnp962.4(2011蚌埠市质检)已知2，3，4，若7，(a，t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，at_.答案55解析类比所给等式可知a7，且7ta72a，即7t773，t48.at55.5(2011杭州市质检)设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_答案f(2n)(nN*)解析f(2)f(21)，f(4)f(22)2，f(8)f(23)，f(16)f(24)3，f(2n)(nN*)6已知abc，且abc0，求证：a.证明要证a，只需证b2ac3a2，因为abc0，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.因为abc，所以ab0，ac0，所以(ab)(ac)0，显然成立，故原不等式成立7先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a，b为实数，且|a|1，|b|ab.(2)已知a，b，c均为实数，且|a|1，|b|1，|c|abc.解析(1)ab1(ab)(a1)(b1)0.(2)|a|1，|b|1，|c|abc，abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即xiR，|xi|1(i1,2，n)时，有_8(文)观察sin210cos240sin10cos40；sin26cos236sin6cos36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解析观察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sincos(30).证明：sin2cos2(30)sincos(30)sin(302)sin301cos(602)cos2sin(302)12sin(302)sin30sin(302)(sin302).(理)设数列an的首项a1a，且an1记bna2n1，n1,2,3，.(1)求a2，a3；(2)判断bn是否为等比数列，并证明你的结论解析(1)a2a1a，a3a2a.(2)a4a3a.a5a4a.b1a1a0，b2a3，b3a5.猜想bn是公比为的等比数列证明如下：bn1a2n1a2nbn(nN*)bn是首项为a，公比为的等比数列1如图所示的算法中，令atan，bsin，ccos，若在集合|0tan，且sincos，当时，总有tansin，当时，sin0，tan0，cos0，sinSBOCSCODSBODSBCD；(4)错误，f(x)cos2xsin2x1，fcossin121.7.如图(1)，过四面体VABC的底面内任一点O分别作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点求证：为定值分析：考虑平面上的类似命题：“过ABC底边AB上任一点O分别作OA1AC，OB1BC，分别交BC，AC于A1，B1，求证为定值”这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其为定值1.另外，过A，O分别作BC垂线，过B，O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1.证明如图(2)，设平面OA1VABCM，平面OB1VBACN，平面OC1VCABL，则有MOA1MAV，NOB1