数学预测题三

2006年高考数学预测题三 高考函数与不等式解答题怎么考（一）l 考题回顾年高考的套理科试题中，出现函数与不等式解答题的有道，具体的试题特点如下：卷型题序分数考查的知识点全国I6 用导数求对数函数的最小值、用数学归纳法证明不等式全国II 1，6 12，12 函数、解不等式；用导数求指数函数的最小值，判断函数的单调性，求参数的取值范围全国III6 12 用导数求分式函数单调区间和值域、三次函数、求参数的取值范围 北京 1，613， 14 用导数求三次函数的单调区间与最值；新定义的函数与不等式上海 5 16新定义的分段函数的解析式、值域与探索性问题天津 4，6 12，14函数最值的实际应用；函数、导数与数列不等式证明重庆 3 13 用导数分类讨论函数极值点的个数广东 5 14 抽象函数的周期性和奇偶性、方程根的探求山东 3 12 用导数求三次函数极值、单调区间、参数的取值范围湖北 1 12 用向量构造的函数、单调性、导数湖南 6 14 用导数确定函数的单调性、函数图象上一点处的切线浙江 2 14 求函数的解析式、解绝对值不等式江苏 4 14 绝对值函数、导数、最值与方程的解福建 3 12 分式函数图象的切线、函数的单调区间辽宁 6 12 函数和导函数、切线方程、证明函数不等式、求参数的取值范围江西 1 12 分式函数、解方程、解答含参数的分式不等式从上面的表格我们可以看出：函数与不等式解答试题是高考的热门话题，也是解答题的必考的题型当中的全国II、北京、天津各命了道函数与不等式试题处在压卷位置的有道，接近占套理科试卷的与导数知识交汇的试题有道，占套试卷的当中，求函数的最值和值域的试题有道，涉及函数单调性的有道，相关求参数的取值范围的有道出现的函数种类比较多的有三次函数、分式函数、对数和指数复合的函数、绝对值函数、抽象函数等等l 考题背景高考命题一般都有它的原形，探索和寻找考题的命题背景，有利于猜透命题人的原始意图，这对提高备考复习的针对性和有效性是很益处的例如天津理科卷中的第题：某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为 ,tan=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高） (山坡)水平地面ABCOP 这是一道视角最大的实际应用性问题，它和如下年全国高考题是极其类似的：平面直角坐标系中，在轴正半轴上有两点，并且，试在轴正半轴上求一点P，使得最大其实，如果你留心的话，就能发现：年浙江理科卷的第题也是一道角度最大问题这说明历年的经典高考真题可能是编拟新考题的生长点又如在数学名著常用不等式（湖南师范大学匡继昌著）上有如下不等式：设，则该不等式的发展就是：设均为正数，则在这个不等式中，特别取就有 再取，得如下全国（I）卷第题的第小题 （1）设函数，求的最小值； （2）设正数满足， 求证：而第（）题的背景也可以用凸凹函数的性质来解释，这就关联着高等数学里著名的琴生不等式l 考题预测函数与不等式是高中数学的重要内容，在数学的其它分支中有着极其广泛的应用，这也是进一步学习高等数学知识的基础，所以成为历年高考命题的主干题型和热点内容函数与不等式综合的解答试题命题的趋向大致为：函数的单调性、最值性的探究，这点可能要利用导数这个解题工具函数与证明不等式综合，求参数的取值范围，构造函数与不等关系的实际应用性问题，解答涉及函数的不等式，判断方程根的个数等等已经成为高考命题的风向标l 复习建议函数知识的学习应当紧扣函数的定义（定义域，对应法则，值域），心中明确函数的图象，由此记忆熟化基本初等函数的有关性质，适时应用导数这个有力的解题工具，非函数的问题如果能够建构函数关系，就可以应用函数思想实现问题的巧思妙解不等式的学习要对不等式的基本性质运用自如，在此基础上，强化化归意识和代数推理的复习变形转化的目的性、方向性和有效性，需要我们在做题中去学习，在学习中去感悟，从感悟中去反思、去回味，去掌握解不等式、证明不等式、解决函数与不等式的综合性问题里的通性通法当中，构造函数、建立方程、挖掘不等关系、利用导数工具，含参字母的讨论等等应放置于具体的数学问题里去提炼和升华l 范例选讲例设、是函数（a0）的两个极值点，且（）证明：；（）证明：讲解应用导数探求函数的极值（） x1，x2是f (x)的两个极值点， x1，x2是方程ax2bxa20的两个实数根 a0， x1x2a0，x1x2 | x1|x2| x1x2|即 b24a24a3 b20， 0a1 （）由（）可构造三次函数g(a)4a24a3，则 g (a)8a12a24a(23a) 由g (a)00a，g (a)0a1，从而知道函数g(a)在区间（0，）上是增函数，在区间（，1上是减函数， 于是有 g(a)maxg()故 |b| 评注由于次函数的导数是次函数，所以，次函数函数在高考试题当中出现的几率是比较高的，这点请读者多多留意涉及三次函数的高考试题有全国（III）卷、北京卷、山东卷等例已知二次函数的图像过、两点，且满足.(1)证明：或；(2)证明：函数f(x)的图像必与x轴有两个交点；(3)若关于x的不等式f(x)0的解集为或(nm0)，解关于x的不等式.讲解（1）, ，得、. （2）当时，二次函数f(x)的图像开口向上，图像上的点A、B的纵坐标均为且小于零，所以图像x轴有两个交点； 当时，二次函数f(x)的图像开口向下，图像上的点A、B的纵坐标均为且大于零，所以图像x轴有两个交点. 故知函数f(x)的图像与x轴有两个不同交点.（3）的解集为或（nm0）, 从而方程的两个根为, 则方程的两个根为,. 因为nm0，只有一个实数解. 即当x0时，方程有唯一解.评注由不等导出相等，这在高等数学里是经常见到的导数是研究函数的常用工具，比如：研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式等等其实，只要你记住求导数的一些公式，适时的灵活应用，这显然是解答该类问题的通性通法年涉及方程根的个数的试题如江苏卷、广东卷例已知函数在定义域内连续 （）求的单调区间和极值； （）当m为何值时，不等式 恒成立？ （）给出定理：若函数上连续，并具有单调性，且满足异号，则方程内有唯一实根试用上述定理证明：当时，方程内有唯一实根 （e为自然对数的底；参考公式：）讲解（）对已知函数求导，得 ，内是减函数，在（1m，+）内是增函数，当等于1m时，函数有极小值1m（）由（1）知，在定义域内只有一个极值点，所以的最小值就是1m，从而当1m0时，不等式0恒成立，故所求的实数m的取值范围是m1（） m1，又，因此，根据问题中所给定理，方程在区间内有唯一的实根评注 需要指出的是，问题当中给出的定理是高等数学里的一个结论给出一个新的定理，由此解答相关的问题，这反映的考查分析问题和解决问题的力度，也是我们在学习时应着力关注的命题动向函数与不等式相关联的求参数的取值范围的试题是高考常考常新的话题，如2005年全国（II）卷、全国(III)卷、辽宁卷、山东卷等l 跟踪练习1. 设函数， （1）若在上是增函数，求的取值范围； （2）求在上的最大值2. 已知函数(1)若函数在和时取得极值，试求的值(2)在(1)的条件下，当时，2c恒成立，求c的取值范围3. 已知函数的导数满足，常数为方程的实数根（）若函数的定义域为I，对任意，存在，使等式=成立，求证：方程不存在异于的实数根；（）求证：当时，总有成立；（）对任意，若满足，求证4. 设函数，点P（x0，y0）0x01在曲线上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x0表达）DCAB5. 如图，有甲乙两个村庄，甲村位于一直线河岸的岸边A处，乙村与甲村在河的同侧，乙村位于离河岸40km的B处，乙村到河岸的垂足D与A相距50km，两村要在此岸边合建一个自来水厂C，从自来水厂到甲村和乙村的水管费用分别为每千米元和元. 现要进行工程费用测算. （）求出水管总费用关于水厂C到D的距离的函数关系式；（）问自来水厂C建在何处，才能使水管总费用最省？6. 已知，g(x)=x+a (a0)(1)当a=4时，求的最小值；（2）当时，不等式1恒成立，求a的取值范围答案：当时，(1）要使在上是增函数，在上恒成立，即在上恒成立而在上的最小值为，又，(2）时，在上是增函数，）时，得当时，；当时，（1）函数在和时取得极值，1，3是方程的两根，（2），当x变化时，有下表x(-，-1)-1（-1，3）3（3，+）f(x)+0-0+f(x)Maxc+5Minc-27而时f(x)的最大值为c+54要使f(x)2|c|恒成立，只要c+542|c|即可，当c0时c+5454当c0时c+542c，c18c（-，18）（54，+）（）用反证法，设方程有异于的实根，即，不妨设，