离散数学代数结构部分.ppt

第三部分代数结构，第五章代数系统，也称为代数结构的代数系统，简称代数是抽象代数的主要研究对象。代数系统的种类很多，它们在计算机科学的自动机理论、编码理论、形式语言、时序线、开关线路数问题以及计算机网络的纠错代码的纠错能力判断、密码学、计算机理论科学等方面应用很广。这部分的主要内容是二元运算及其特性。二元运算的特殊元素或元素，零元素，反元素。代数系统的定义和特性。定义5.1设置为的二进制运算，简称为二进制运算。5.1节二进制运算及其特性，整数集中任意两个整数的一般加法和乘法是集合上的二进制运算。如何确定运算是否是集合的二进制运算，如果唯一性集合s的两个元素都可以执行此运算，并且结果是唯一的。闭集s中任意两个元素运算的结果属于s。也就是说，s对于该操作是闭合的。示例5.1设置a=x | x=，N，并询问集合a中的常规乘法运算是否关闭，以及是否对加法执行运算。解决方案：乘法是随机的，因此关闭。定义至少5.2集*是集a中定义的二进制运算，并且如果x * y=y * x存在于所有x，y/a中，则二进制运算*是可交换的，因此加法不闭合。示例5.2将q设置为有理数集合，*作为q的二进制运算，询问对于任意a，b，q，a* b=a* b=a * b=a B- ab的运算*是否可交换。解决方案：a * b=a b-ab=b a-ba=b * a，因此计算*是可交换的。定义5.1设置为的二进制运算，简称为二进制运算。5.1节二进制运算及其特性，整数集中任意两个整数的一般加法和乘法是集合上的二进制运算。5.2集定义*是集a中定义的二进制运算，对于任何x，y/a，如果x * y=y * x，则称为可交换二进制运算*。示例5.2将q设置为有理数集合，*作为q的二进制运算，询问对于任意a，b，q，a* b=a* b=a * b=a B- ab的运算*是否可交换。解决方案：a * b=a b-ab=b a-ba=b * a，因此计算*是可交换的。5.3集定义*是集a中定义的二进制运算，如果任意x，y，z/a具有(x * y) * z=x * (y * z)，则二进制运算*是可合并的或运算*是a的有效合并法则。范例5.3适用于A=Z，为整数的加：适用于Z中的接合规则。“.”从整数中减去：特殊，运算“5.4集定义*”是集a中定义的二进制运算，如果x/a具有x * x=x，则该运算是等效运算。示例5.4集P(S)是集S的幂集，P(S)中定义的两个二项式运算，集的并集运算和集的交集运算验证，是等价幂。解决方案：对于所有ap(s)，aa=a和aa=a，因此，运算和都满足等效的幂律。定义5.5设置。和*是s的两个二进制运算，如果任何的都有，则示例5.5位于实数集r中，对于常规乘法和加法。也就是说，乘法可以分配给加法。定义5.6设置。和*是集a中定义的两个可交换二进制操作，对于任何x，y/a，如果。运算和*满足吸收率，示例5.6将聚合n设置为自然数整体，n中的两个二进制运算*和任意x，y/n的x * y=max (x，y)，xy=min (x，y)，n，解决方案：随机a，b-72n，a *=max(a，min(a，b)=aa (a * b)=min (a，max()，5.7集定义*是s的二进制运算，5.2节二进制运算的特殊元素，1 .或者，meta，自然数集n的加法为0，乘法为1，对于给定的集和运算，不存在存在任何元素。清理5.1设置*是s的二进制运算，如果s具有运算*的元素，则是唯一的。所以唯一的安慰。，定理5.2集*是s的二进制运算，如果s同时具有运算*的左右元素，则s必须具有运算*的or e，5.8集定义*是s的二进制运算，2.0元，自然数集n的常规乘法的0元为0，加法，清理5.3设置*是s的二进制操作，如果s包含0，则它是唯一的(对于操作*)。所以0元是唯一的。清理5.4设置*是s的二进制运算，计算*的左0和右0都在s中，5.9设置定义*是s的二进制运算，2 .逆函数，示例5.8对于整数集z的加法为0，对于任意整数m，定理5.5是可以与s相结合的二进制运算，e是-m(如果s的元素x存在)，因此，对于可组合的二进制运算，逆元素是唯一的。定理5.6 *是s中的可组合二进制运算，e是？如果s的元素x同时具有运算*的左逆和运算*的右逆，则s必须具有x的运算*的逆，求解：*运算适用于交换规则，合并规则和剔除规则，不适用于幂等规则。单位元是a，没有0元，运算适合于交换定律、加法、幂等定律，不适合于剔除法。单位元是a，0元有B. a万元，运算不适合交换法，适合结合法和幂等定律，不适合剔除法。没有单位元素、没有零元素、没有可逆元素。5.10集s定义非空集，s和s的多个运算组成的系统也称为代数系统，记忆，5.3节代数系统，代数。例如，r表示实数集、普通加法和馀数运算的n阶正方形组成的集合、矩阵的加法和馀数运算的5.11设置、全部闭合、b和s包含相同的代数常数时的5.12设置、5.13设置定义、5.14设置定义、5.14设置、示例5.14表示求出两个数字的最小公共倍数的运算解决方案：零元不存在，只有唯一的火车站。范例5.15在玻璃集q中定义二进位运算*。(，示例5.16包含一个集合，用于讨论常规乘法和加法运算的这五个集是否关闭。示例5.17设置，解决方案：第6章几个常用代数系统，本章介绍了半群、群、环、域、格和布尔代数的几个重要类别。6.1设置定义，6.1节半群和组，6.2定义半群，示例6.1(1)普通加法，(2)普通乘法是N，Z，Q和r的二进制运算，满足合并法则，定义1，6.3设置因此，g信息矩阵乘法是z的代数运算，而矩阵乘法满足连接法则，因此g信息矩阵乘法构造了半个组，g中每个矩阵的逆源是磁，因此g信息矩阵乘法构造了一个组。定义6.6组时，示例6.4(1)没有除0以外的逆圆，因此只包含非组半群。中的每个元素都有反圆，即反数，运算满足交换定律，因此是交换组。0没有逆元素，所以只有半群，而不是群。示例6.5表示G=e，a，b，c，g的二进制运算，由下表提供。不难证明g是一个名为Klein四元组的组。6.7设置定义，6.6示例组，解决方案：清理6.1设置，证明：有点。6.8集定义，定义6.9，示例6.7集，如下表所示，运算满足闭合性，满足连接和交换规律，0是单位圆，每个都有逆圆，该组的阶数分别为6，元素0，1，2，3，4，5，定理6.2设定，下面证明了唯一性，证明了唯一性。示例6.8设置，清理6.3，清理6.4设置，清理6.5G为有限组时，g的运算表中的每行(每列)是g的元素的一个替换，行(或列)的替换是不同的。6.10定义设定，范例6.9，范例6.10群组，将清理6.6(子群组决定清理1) h设定为群组。证明：需要是明确的。，将定理6.7(子组判断定理2) h设置为组，证明：必要性，充分性证明：将定理6.8(子组判断定理3) h设置为组，证明：必要性很明显。示例设置6.11，设置定义6.11，设置6.2部分伴随集和拉格朗日清理，设置示例6.12，解决方案：设置h的右侧伴随集，清理6.9将h设置为组，清理6.10设置，清理6.11设置，证明：稍。推理6.1，设置定理6.12，设置定理6.13，定义6.12组，设置定理6.14(拉格朗日定理)，即子组的阶数必须是组的阶数的系数。根据定理6.11的推论，推论出6.2，推论出6.3，根据定理6.11的推论，定义出6.13，g的两个平凡子组，设定定理6.15，证明：有点。示例6.13设置，示例6.14设置，清理6.16设置，6.14设置，定义6.3组的同构和同构，示例6.13设置，定义6.15设置，清理6.17设置，证明：有点，6.16定义设置，清理6.18(组等于基本清理)，6.17定义设置，6.4循环组和替换组，清理6.19设置，示例6.16，示例6.17设置，6.18如果将每个旋转或反转视为操作，则、6.22设置、6.5环和域定义、示例6.21(1)